Аналитический

Дискретный

- способ задания

Локальный

Интервальный

Фрагментарный

(сплайн)

- задание

области

определения

Интерполяция

• с

  Аппроксимация

  Смешанный

  пособ

приближения

Общая постановка задачи.

Пусть на отрезке [a, b] задана система узлов Пусть, далее, в узлах заданы значения некоторой гипотетической функции f(x): , . Другими словами, функция f(x) задана таблично в точках .

Существует два подхода к приближенному построению гипотетической функции f(x): интерполяция значений (вставка) и их аппроксимация (приближение).

Задача интерполяции значений состоит в построении функции F(x), принадлежащей заданному классу функций, которая совпадает в узлах cо значениями : .

В классе полиномов n – ого порядка задача интерполяции имеет единственное решение. Для вычисления F(x) существуют различные интерполяционные формулы.

Задача аппроксимации состоит в построении функции F(x), принадлежащей заданному классу функций, которая минимизирует норму на отрезке [a, b]. В качестве такой нормы удобно использовать следующую величину:

(1)

В задаче аппроксимации не требуется выполнения условия .

Метод интерполяции.

Суть метода:

Пусть f(x) – исходная функция, а Р(х, а) – функция приближения, где а – параметр функции Р.

Цель:

Вместо функции f(x) получить Р(х, а), т.о. f(x)  Р(х, а) => 2 задачи:

Выбор из класса функций функции , .

Нахождение параметров .

Для f(x), будем решать эту задачу как для линейного оператора:

k – множество непрерывных функций на [a, b].

Тогда пространство k образует (n +1) – мерное пространство. При этом будем считать, что Р_i(x) – линейно независимы => их можно принять за базис в этом пространстве.

С_i – параметры, которые требуется определить.

Пусть имеется множество точек , для которых:

, где

х_i - узлы интерполяции

- интерполяционные функции

Выбираем полином:

- базис

Параметры С_i найдем из условия:

 i множеству узлов интерполяции.

Сколько нужно узлов интерполяции?

Т.к. у нас (n + 1) неизвестных => надо (n + 1) узел интерполяции => чтобы интерполировать f(x) полином n-ой степени, надо иметь (n + 1) узел интерполяции.

, 

Xc = d – CЛАУ, где

- определитель Вронского  0.

Решаем систему, получаем: .

Следствия:

Если заданы одни и те же узлы интерполяции, то построенный по ним интерполяционный полином является единственным.

этот способ общий, т.к. на выбор узлов интерполяции нет никаких ограничений.

Недостатки метода:

Матрица Х плохо обусловлена, что может привести к большим ошибкам округления, в результате при больших n задача становится нерешаемой.

Надо решать систему (долго), т. е. не всегда подходит (н-р, бортовой компьютер), кроме того эта задача занимает много машинных ресурсов.

надо искать другие интерполяционные полиномы.

Интерполяция по Лагранжу.

Рассмотрим задачу построения интерполирующей функции в классе полиномов n – го порядка.

, , где х_i – узлы интерполяции,

- полином Лагранжа, где

, где

Полином Лагранжа используется при сгущении сетки узлов интерполяции (определение функции в заданной точке).

Недостатки:

Очень сложно получить по заданному алгоритму явный вид интерполяционного полинома (необходимо при сжатии данных).

При появлении нового узла интерполяции необходимо все пересчитывать.

Метод Ньютона для разделенных разностей.

Пусть функция f(x) задана дискретно:

			
X0	y0	f(x0 x1)	f(x0 x1 x2)	f(x0 x1… xn)
X1	y1	f(x1 x2)
…	…	…	f(xn-2 xn-1 xn)
xn	yn	f(xn-1 xn)

Находим разделенные разности:

Первые разделенные разности:

и т. д.

Вторые разделенные разности:

и т.д.

После того, как мы получили все разделенные разности, составляем полином:

Преимущества метода Ньютона:

При добавлении новых узлов интерполяции не нужно все пересчитывать заново

Можно получить зависимость в виде полинома => можно хранить не массив данных, а только коэффициент полинома => сжатие данных.

Интерполяция сплайнами.

Кусочно-полиномиальные функции, обладающие определенной гладкостью, называются сплайнами. Сплайн n-ой степени «склеивается» из кусочных полиномов p-ой степени так, что первые p-1 производные его были непрерывны на отрезке [x₀,x_n], а р-я производная интегрируема с квадратом на этом отрезке.

Если р=3, то такой сплайн является кубическим, его точное определение будет дано далее.

Кубические сплайны обладают свойством минимальной кривизны, поэтому они являются наиболее распространенными в задачах сплайновой интерполяции.

Определение. Кусочно-кубический полином s(x), который на отрезке[x_i-1,x_i] представляется в виде

Называется естественным кубическим сплайном, если во внутренних узлах x_i(i=1,…n-1) выполнены условия сшивки: , а во внешних узлах x₀=a, x_n=b:

Можно показать, что если F(x)- некоторая функция, удовлетворяющая условиям и ^’’(x) -ее вторая производная, то кривизна естественного кубического сплайна, интерполирующего на те же точки, удовлетворяет неравенству

Естественный кубический сплайн – единственная функция, обладающая свойством минимальной кривизны среди всех функций, интерполирующих данные точки и имеющих квадратично суммируемую вторую производную. (Самая гладкая из таких функций).

5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов.

Пусть на отрезке задана система узлов , . Пусть далее, в узлах заданы значения некоторой гипотетической функции : , . Другими словами, функция (x) задана таблично в точках .

Существует два подхода к приближенному построению гипотетической функции f(x): интерполяция значений (вставка) и их аппроксимация (приближение).

Задача интерполяции значений состоит в построении функции F(x), принадлежащей заданному классу функций, которая совпадает в узлах со значениями : .

В классе полиномов n –го порядка задача интерполяции имеет единственное решение. Для вычисления F(x) существуют различные интерполяционные формулы.

Задача аппроксимации состоит в построении функции F(x) , принадлежащей заданному классу функций, которая минимизирует норму ||F(x)-f(x)|| на отрезке [a,b]. В качестве такой нормы удобно использовать следующую величину.

(1)

Рассмотрим общий способ решения задачи аппроксимации точек {y_i}. Предположим, что аппроксимирующая функция зависит от m+1 -го параметра: . В этом предположении задача сводится к отыскиванию значений параметров a₀,a₁,…,a_m,, минимизирующих норму (1). Обозначим

(2)

Для определения коэффициентов используем необходимые условия экстремума функции нескольких переменных:

, , …………, . (3)

Решение системы упростится, если функция линейна относительно . поэтому будем рассматривать эту функцию в виде обобщенного полинома

(4)

Подставим (4) в (2)

(5)

Подставляя теперь (5) в (3) , получаем

(6)

……………………………………………………………………………..

Введем сокращенные обозначения скалярных произведений

Где

. .

Тогда систему (6) можно записать в виде

(7)

……………………………………………………………

Если система функций ортонормированна, т.е.

(8) То матрица системы линейных алгебраических уравнений (7) является единичной, и решение определено:

,…….., (9)

Выбор класса функций, которому принадлежит набор ,. Определяет качество аппроксимации. Если функция f(x) есть линейная комбинация базисных функций , то при некотором значении .

Положим . Тогда

(10)

В этом случае (7) переходит в систему

(11)

……………………………………

Или

(12)

Где C- матрица с элементами .

Можно показать, что если среди нет совпадающих и , то и система (11) имеет единственное решение. Следовательно, полином , коэффициенты, которого удовлетворяют системе (11), минимизирует норму (). Если m=n , то аппроксимирующий полином совпадает с полиномом Лагранжа для той же системы узлов , т.е. , причем .

6. Разложение функции в ряд Фурье. Преобразование Фурье.

Пусть функция f(x) имеет период 2L, абсолютно интегрируема хотя бы в несобственном смысле на [-L, L], а следовательно и на любом другом промежутке длины 2L. Тогда функция разложима в ряд Фурье

где

(1)

(2)

Из (2) следует, что для четной функции f(x)=f(-x) в силу нечетности функций sin(nx/L) тождественно равны нулю коэффициенты b_n:b_n0, а для нечетной функции f(x)=-f(-x) в силу четности функций cos(nx/L) тождественно равны нулю коэффициенты а_n:а_n0.

Таким образом, в условиях Т.1 для четной функции справедливо разложение по косинусам

(3)

где

(4)

а для нечетных функций справедливо разложение по синусам

(5)

где

(6)

Чтобы разложить произвольную абсолютно интегрируемую функцию, заданную на конечном отрезке, в ряд Фурье, необходимо продолжить эту функцию периодически на всю действительную ось. С целью сокращения объема вычислений такое продолжение обычно осуществляют четным либо нечетным образом.

Преобразование Фурье. Т.2. Если функция f(x) абсолютно интегрируема на (-,), т.е. , то функция

, (7)

называемая интегралом Фурье, непрерывна в (-,) и При этом функция f(x) может быть получена обращением формулы (7):

(8)

Преобразования (7), (8), связывающие функции f(x) и F(p), называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье. В этой связи F(x) и f(x) называют образом и праобразом Фурье.

7. Случайные величины. Математическое ожидание, дисперсия, Средне квадратическое отклонение, коэффициент корреляции.

--

8. Случайные процессы, их описание и основные характеристики.

Случайный процесс есть случайная функция х(t) от независимой переменной t.

Случайная функция (СФ) – функция неслучайного аргумента t, значения которой – случайные величины (СВ).

Примеры СФ:

x(t)= cos(t), где СВ

х(t₀)= cos(t₀), в зависимости от значения t получаем различные СВ

x(t)=U cos(Vt), где U,VСВ

х(t₀)=U cos(Vt₀), где U,Vразыгранные величины

Понятие СФ шире и богаче понятия СВ. Вспомним определение СВ. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее – какое именно. Дадим аналогичное определение СФ.

Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее – какой именно.

Реализация СФ (Значение СФ) – это числовая функция X(t), которая при каждом t получается за счет разыгрыванияСВ x(t), т.е. это конкретный вид принимаемый СФ.

Если над случайной функцией пройзвести группу опытов, то мы получим группу реализаций этой функции.

Случайный процесс можно рассматривать либо как совокупность реализаций процесса X(t), либо как совокупность случайных величин, зависящих от параметра t. При этом должны быть заданы распределения вероятностей систем случайных величин x₁₌x₁(t), x₂₌x₂(t), … (выборочных значений) для любого конечного множества значений t₁, t₂, … (выборочных моментов).

Случайный процесс дискретен или непрерывен, если дискретно или непрерывно распределение величин x₁(t), x₂(t), … для каждогоконечного множества t₁, t₂, …

Параметры, описывающие СФ:

Одномерный закон распределения СФ – f (x,t₀)

Что представляет собой закон распределения СФ?

Он представляет собой функцию бесчисленного множества аргументов. Практическое пользование подобной характеристикой совершенно исключено.

Можно, однако, для СФ построить некоторые вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Идея построения этих характеристик заключается в следующем.

Рассмотрим СВ Х(t₀) – сечение СФ в момент t₀.

Здесь СВ Х(t₀) обладает законом распределения f (x,t₀).

Очевидно, что функция f(x,t₀) не является полной, исчерпывающей характеристикой СФ Х(t). Действительно, эта функция характеризует только закон распределения Х(t) для данного, хотя и произвольного t; она не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин Х(t) при различных t.

Математическим ожиданием (МО) СФ x(t) называется m_x(t) = M[x(t)]

Таким образом, МО СФ x(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при каждом значении t равна МО соответствующего сечения СФ.

Свойства МО:

а) для неслучайной функции (t) M[(t)] =(t), т.е. такая СФ, значение которой при каждом t есть const;

б) M[(t) x(t)] =(t) M[x(t)] =(t) m_x(t), где (t) – неслучайная функция, m_x(t) - случайная функция;

в) M[x(t) + y(t)] = M[x(t)] + M[y(t)] = m_x(t) + m_y(t)

Дисперсией (Д) СФ x(t) называется D_x(t) = D[x(t)]

Таким образом, Д СФ x(t) называется неслучайная функция D_x(t), которая при каждом значении t равна Д соответствующего сечения СФ.

Свойства Д:

а) D[(t)] = 0;

б) D[(t) x(t)] =(t)² + D_x(t);

в) D[(t) + x(t)] = D_x(t);

_x(t) =  D_x(t) – среднее квадратическое отклонение СФ

Центрированная СФ

, очевидно, что

Корреляционной функцией СФ x(t) называется неслучайная функция двух аргументов _х(t₁,t₂), которая при каждой паре значений t₁,t₂ равна корреляционному моменту соответствующих сечений СФ:

Корреляционный момент характеризует степень зависимости величин x(t₁) и x(t₂).

Свойства корреляции:

а) k_x(t₁,t₂)=k_x(t₂,t₁)

б) если y(t)=x(t)+(t), k_y(t₁,t₂)=k_x(t₁,t₂), т.к.

в) если y(t)=x(t)(t), то k_y(t₁,t₂)=k_x(t₁,t₂)(t₁)(t₂)

г ) | k_x(t₁,t₂)|D_x(t₁)D_x(t₂)

Нормированная корреляционная функция.

Взаимная корреляционная функция двух СФ x(t) и y(t)

Если R_xy(t₁,t₂)=0, то x(t) и y(t) называются некоррелированными и наоборот.

5.3 Нормированная взаимная корреляционная функция

9. Стационарные и эргодические случайные процессы и их характеристики.

Стационарные СФ

На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени.

Такие случайные процессы называются стационарными.

Примером стационарного случайного проуесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета.

x(t) – стационарная СФ, если все ее характеристики, определенные через момент времени t₁, t₂, …, t_n, не зависят от самих значений t₁, t₂, …, t_n.

m_x(t) = m_x = const – т.к. изменение стационарной СФ должно протекать однородно по времени.

D_x(t) = D_x = const

k_x(t₁,t₁+) = _x(), где  = t₂-t₁ - корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а одного аргумента.

Под стационарной СФ понимают такую СФ, корреляционная функция которой зависит не от обоих своих аргументов, а только от разности между ними.

D_x(t) = k_x(t,t) = k_x(0) = const

_x() =_x(-) – следует из свойств k_x(t₁,t₂); т.е. _x() есть четная функция своего аргумента. Поэтому корреляционную функцию определяют только для положительных значений аргумента.

Нормированная корреляционная функция:

Эргодичность СФ

Стационарную СФ x(t) называют эргодической, если ее характеристики, найденные усреднением множества реализаций, совпадают с характеристиками, полученными усреднением по времени одной реализаци, которая наблюдалась на интервале (0, Т) достаточно большой длительности.

X¹(t) – первая реализация

X¹(t) Вычисление МО X(t) для X(t) общего вида:

X²(t) МО X(t)  (X¹(t) + X²(t) + … + X^N(t)) / N

X³(t)

…

Вычисление МО X(t) для эргодической X(t):

X^`(t) – одна реализация

МО X(t)  (X^{`</sup>(t<sub>1</sub>) + X<sup>`}(t₂) + … + X^`(t_n)) / N

Условие эргодичности:

Достаточное условие эргодичности стационарной СФ для вычисления МО:

Смысл условия – в слабой зависимости X(t₀) и X(t₀ + ) при больших 

Тогда есть оценка для m_x

Достаточное условие эргодичности процесса X(t) относительно корреляционной функции:

при любом 

здесь

Тогда оценку производят по формуле: