Содержание Введение…………………………………………………………………8
1 Прямые задачи параболического типа……………………………...10
1.1Линейная задача о распространении тепла……………………..
1.2 Постановка краевых задач………………………………………
1.3 Задачи на бесконечной прямой………………………………….
2 Обратные задачи теплопроводности………………………………..
2.1 Понятие корректности…………………………………………...
2.2 Пример некорректной задачи……………………………………
2.3 Типы обратных задач теплопроводности…………………........
3 Численные методы решения интегральных уравнений типа
свёртки…………………………………………………………………
3.1 Итерационный метод……………………………………………
3.2 Метод регуляризации……………………………………………
3.3 Операторы преобразования .……………………………………
3.4 Ретроспективная задача о структуре нестационарного температурного поля в неограниченном двухслойном
стержне………………………………………………………………
3.5 Ретроспективная задача о структуре нестационарного температурного поля в неограниченном трёхслойном
стержне………………………………………………………………
4. Модельные задачи………………………………………………….
4.1 Численное решение ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном
неограниченном стержне…………………………………………….
4.2 Численное решение ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в изотропной неограниченной трехслойном стержне……………………………
Заключение…………………………………………………………….
Список использованных источников.………………………………...
Приложение А. Листинг 1. Программы решения ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном стержне итерационным методом и методом
регуляризации с применением операторов преобразования…………
Приложение Б. Листинг 2. Программы решения ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном стержне итерационным методом и методом регуляризации с применением преобразования Фурье на оси с
точкой сопряжения ……………………………………………………
Приложение В. Листинг 3. Программы решения ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в изотропной неограниченной трехслойном стержне итерационным методом и методом регуляризации с применением преобразования Фурье на оси с двумя точками сопряжения …………………………
Введение
Процессы теплопередачи играют большую роль как в природе, так и в современной технике. Исследования показывают, что теплопередача является сложным процессом. При изучении этот процесс расчленяют на простые явления. Частным случаем является теплопроводность – перенос тепла (или внутренней энергии) при непосредственном соприкосновении тел (или частей одного тела) с различной температурой.
В настоящее время практика непрестанно выдвигает перед учением о теплообмене новые и разнообразные задачи, требуя от инженера умения самостоятельно использовать основные законы и методы теплопередачи. Значительно расширилась возможность прикладного использования теории теплопроводности в связи со все более широким внедрением в инженерную практику быстродействующих ЭВМ.
С одной стороны эта область науки достаточно хорошо разработана, получены надежные данные, которые можно использовать при решении тех или иных конкретных задач, возникающих при проектировании и эксплуатации теплотехнического оборудования.; с другой, - проблемная, поскольку использование новых материалов, расширение диапазона действия теплотехнических устройств требует создание новых, более надежных методов расчета.
Мы рассмотрим постановки как прямых, так и обратных задач теплообмена для уравнений параболического типа. Они предполагают предварительную схематизацию (моделирование) реального теплообменного процесса в виде некоторой математической формы. Постановки обратных задач, в отличие от прямых, нельзя воспроизвести в реальном эксперименте, т.е. нарушить причинно-следственную связь не математическим, а физическим путем. И в этом смысле они не соответствуют физически реализуемым событиям. Например, нельзя обратить ход теплообменного процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно условно говорить о физической некорректности постановки обратной задачи. Естественно, что при математической формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения), и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач в теории теплообмена.
В данной работе для обратных задач нестационарного уравнения теплопроводности проведено исследование различных методов решения. Целью работы являлось на конкретной модельной задаче произвести оценку их эффективности и актуальности, анализ практической и теоретической значимости полученных результатов.
Работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, приложений и списка используемой литературы.
В первом разделе рассматриваются прямые задачи параболического типа. Излагается постановка краевых задач, рассматривается единственность решения на бесконечной прямой.
Во втором разделе обсуждаются обратные задачи теплопроводности. Их корректность и классификации.
В третьем разделе рассматриваются численные методы решения ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в неограниченном двухслойном и трёхслойном стержнях применяя уравнения типа свёртки, операторы преобразования, методы регуляризации и итераций.
Полученные результаты и модельные задачи представлены в четвёртом разделе.
Программы вычислений приводятся в приложениях.
Заключение
В работе были построены и реализованы алгоритмы решения обратных задач о структуре нестационарного температурного поля в бесконечном стержне с одной и двумя точками сопряжения.
Рассматриваемые вычислительные схемы основаны на применении методов: регуляризации Тихонова, операторов преобразования для решения задач в кусочно-однородных областях, итерационных методов для решения интегральных уравнений в свёртках.
В результате проделанной работы была приведена сравнительная оценка методов получения решения ретроспективной задачи для бесконечного стержня с точками сопряжения.
Предложенные алгоритмы были реализованы на языке Turbo Pascal. Решение модельных примеров показало эффективность, точность и устойчивость рассматриваемых вычислительных схем.
Список использованных источников
Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988 – 257 с.
Баврин И.И., Матросов В.Л., Яремко О.Э. Интегральные преобразования и представления функций в действительной и комплексной областях и их приложения. - М.: Прометей, 2000. - 414 с.
Бойков И. В. Аналитические методы идентификации динамических систем. – Пенза 1992. – 110 с.
Бойков И. В. Итерационные методы решения уравнений в свертках // Известия ВУЗов. Математика – 1998. – №2. – С. 8-15.
Дж. Бек, Б. Блакуэлл, Ч. Сент-Клер, мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. – М: Мир, 1989 – 308 с.
Елисеева Т. В. Математическое моделирование температурных и потенциальных полей в кусочно-однородных средах / Препринт № 98. - Саранск, СВМО, 2007. - 32 с.
Елисеева Т. В. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред / Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания: Межвуз. сб. научных трудов. – Пенза: Изд-во ПГПУ, 2001. – С. 17-21.
Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. – М.: Наука, 1969. – 456 с.
Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 408 с.
Лионс Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М: Мир, 1972 – 587 с.
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М: Наука, 1965 – 520 с.
Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Обобщенная термомеханика. – Киев: Наукова думка, 1976. – 310 с.
Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. – М: Едиториал УРСС, 2004. – 480 с.
Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979. – 288 с.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
М.: Наука, 2004 – 798 с.