- •2).Неопределенности вида (∞/∞),(0*∞),(∞-∞).Вторая теорема
- •1) (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале).
- •2) (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей
- •3) (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на
- •1. ∢ Точку X∈( - , )
- •X0 принадлежащий (a; b) и проведем через точку m0 касательную.
- •1.Вычисление s плоской фигуры
- •2.Задача о вычисление пути прямолинейного движения
- •30. Понятие спрямляемой кривой. Вычисление длины гладкой прямой.
- •33. Общая схема применения определенного интеграла в физике. Примеры.
- •35.Поняти несобственного интеграла 2-го рода. Свойства. Признаки сходимости.
- •25. Понятие квадрируемости и площади плоской фигуры. Критерий квадрируемости. Свойства квадрируемых фигур.
- •26. Квадрируемость и вычисление площади криволинейной трапеции. Следствия из основной формулы.
- •27. Понятие кубируемости и объема тел. Первый критерий кубируемости. Объем прямого кругового цилиндра.
Билет№1Понятие неопределенности.Неопределенность типа
(0/0).Первая теорема Лопиталя.
Неопределенность вида 0/0.С помощью производных можно раскрывать
неопределенности вида 0/0 и ∞/∞.Другие типы неопределенностей сводятся к
этим. Начнем со следующего утверждения.
Пусть функциии f и g определены и дифференцируемы на интервале (a, b) и
точка x0 принадлежит (a, b).
Теорема Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых
величин равен пределу отношения их производных.
Если f(x0) = g(x0) = 0,а g'(x0) ≠ 0,то lim f(x)/g(x)=f′(x0)/g′(x0).
x-->x0
Обобщением теоремы Лопиталя служит следующее утверждение.
Пусть функции f и g дифференцируемы на интервале (a, b), пределы:
lim f(x) =lim g(x) =0,производная g′(x) ≠ 0 для всех x принадлежит (а, b)
x→a+0 x→a+0
и существует конечный или определенного знака бесконечный предел :
lim f'(x)/g'(x) =k.
x-->a+0
Тогда существует предел: lim f(x)/g(x),и он тоже равен k, т.е.
x-->a+0
lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)
x-->a+0 x-->a+0
Док-во: В силу условий теоремы, функции f и g не определены в точке a.
Доопределим их, положив f(a) = g(a) = 0. Теперь f и g непрерывны в точке a и
удовлетворяют условиям теоремы Коши(о среднем значении) на любом
отрезке [x, a], a < x < b.
Поэтому для каждого x, a < x < b, существует такое c принадлежит (a, x), что :
f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a))=f'(c)/g'(c),причем lim c(x)=a.
x-->a+0
Поэтому, если существует lim f'(x)/g'(x)=k,то существует и lim f(x)/g(x)=k.
x→a+0 x→a+0
В этих теоремах точка a может принимать значение ±∞. Теорему Лопиталя
можно применять, последовательно вычисляя производные.
Замечание 1:Предел отношения производных не существует,то это вовсе
не означает,что предел отношений первообразных функций тоже не
существует.
Замечание 2:Правило Лопиталя иногда надо применять несколько раз.
Замечание 3:Все аналогичное справедливо для предела слева x-->b- ,
x-->x0.
2).Неопределенности вида (∞/∞),(0*∞),(∞-∞).Вторая теорема
Лопиталя.
Пусть y=f(x) и y=g(x)-дифференцируемы на (a;b) (1)
g'(x) ≠ 0,для любых х принадлежащих (a;b) (2)
Существует lim g(x)=∞ (3)
x-->b-
И пусть существует lim f'(x)/g'(x)=k (4)
x-->b-
Существует lim f(x)/g(x)=k (5)
x-->b-
Док-во:В силу условий (1) и (2) по Т.Ролля =>,что g(x1) ≠ g(x2) при
x1 ≠ x2.
Докажем методом "от противного"
Пусть (5) не выполняется => существует(Xn),Xn принадлежит (a;b)
Xn-->b-,но f(Xn)/g(Xn) не -->k(по Гейне),но можно считать,что она стремится
k' ≠ k
Xk1 : |g(x1)/g(Xk1)|<1 и |f(x1)/g(Xk1)|<1
Существует k2>k1 : |g(Xk1)/g(Xk2|<1/2 и |f(Xk1)/g(Xk2)|<1/2
и.т.д. Существует(Xkn) : |g(Xkn-1)/g(Xkn)|<1/n и |f(Xkn-1)/g(Xkn)|<1/n (6)
Тогда f(Xkn)/g(Xkn) -->k' (7)
Рассмотрим Yn=(f(Xkn)-f(Xkn-1))/(g(Xkn)-g(Xkn-1))=>(по т.Коши)
f'(Ckn)/g'(Ckn) -->k
Ckn - между Xkn и Xkn-1
Xkn -->b- (по т. о 2 милиционерах)
Yn=((f(Xkn)/g(Xkn))-(f(Xkn-1)/g(Xkn)))/1-(g(Xkn-1)/g(Xkn)) -->(k'-0)/(1-0)=k'
Получено противоречие,т.к. k' ≠ k => (5) выполняется. ч.т.д.
1) lim (f(x)*g(x)),где f(x)-->0,g(x)-->∞ - случай неопределенности типа 0*∞
x-->a
2) lim (f(x)-g(x)),где f(x)-->∞,g(x)-->∞ - случай неопределенности типа ∞-∞
x-->a
Билет№3 Понятие степенно-показательного выражения.Неопределен
ности вида (1^∞,0^0,∞^0).Способы раскрытия.
Степенно-показательное выражение u^v,где u и v являются функциями от одной
и той же переменной x,с областью изменения X,имеющей точку сгущения x0;в
частности,это могут быть две:варианты un и vn.
Пусть существуют конечные пределы: lim u=a и lim v=b,причем a>0.Требуется
x-->x0 x-->x0
найти предел выражения u^v.Представим его в виде u^v=e^(v*ln(u)).
Функции v и ln(u) имеют пределы lim v=b,lim ln(u)=ln(a);(здесь использована
x-->x0 x-->x0
непрерывность логарифмической функции),так что lim v*ln(u)=b*ln(a).
x-->x0
Отсюда-по непрерывности показательной функции-окончательно:
lim u^v=e^(b*ln(a))=a^b.
x-->x0
Предел выражения u^v можно установить и в других случаях,когда известен
предел c произведения v*ln(u)-конечный или бесконечный.При конечном c
искомый предел будет,очевидно,e^c;если же c= -∞ или +∞,то этот предел,
соответственно,будет равен 0 или +∞.
Само же определение предела c=lim {v*ln(u)}-лишь по заданным пределам
a и b -возможно всегда,кроме случаев,когда это произведение (при x-->x0)
представляет неопределенность вида 0*∞.Легко сообразить,что
исключительные случаи отвечают таким комбинациям значений a и b :
a=1,b=±∞;a=0,b=0;a=+∞,b=0.
В этих случаях говорят,что выражение u^v представляет неопределенность
вида: 1^∞,0^0,∞^0.
1) lim (f(x))^g(x),где f(x)-->0,g(x)-->0 - случай неопределенности типа 0^0.
x-->a
2) lim (f(x))^g(x),где f(x)-->∞,g(x)-->0 - случай неопределенности типа ∞^0.
x-->a
3) lim (f(x))^g(x),где f(x)-->1,g(x)-->∞ - случай неопределенности типа 1^∞.
x-->a
Билет№4 Понятие монотонной функции.Признаки монотонности
функции на промежутке.Признаки строгой монотонности.
Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака,
то есть либо всегда отрицательное, либо всегда положительное. Если в
дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го
моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и
том же направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует
большее значение функции. Функция убывает, если большему значению
аргумента соответствует меньшее значение функции.
Пусть дана функция f : M из множества R --> R.Тогда,
a) функция f называется возраста́ющей на M, если:
Для любых x,y принадлежащих M,x>y=>f(x)≥f(y).
б) функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если:
Для любых x,y принадлежащих M,x>y=>f(x)>f(y).
в)функция f называется убыва́ющей на M, если:
Для любых x,y принадлежащих M,x>y=>f(x)≤f(y).
г)функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если:
Для любых x,y принадлежащих M,x>y=>f(x)<f(y).
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется
(строго) монотонной.
Условия монотонности функции: