- •1*. Понятие приращения функции и понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.
- •2. Определения касательной и нормали и их уравнения.
- •3*. Правила вычисления производных с демонстрацией на конкретных примерах.
- •4*. Производная сложной функции с демонстрацией на конкретных примерах.
- •5 . Производная обратной функции с демонстрацией на конкретных примерах.
- •6. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически с демонстрацией на конкретных примерах.
- •7. Производная степенно-показательного выражения с демонстрацией на конкретных примерах.
- •8*. Первый дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •9. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница (с демонстрацией на примерах).
- •10. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя (с демонстрацией на примерах).
- •11. Формула Тейлора для многочлена и произвольной ф-ии
- •12. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши (с геометр интерпретацией)
- •13. Понятие монотонности и экстремума ф-и с геометр интерпретацией и примерами
- •15*. Необходимые и достаточные условия экстремума функции с геометрической интерпретацией и конкретынми примерами.
- •16. Необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) графика функции. Точки перегиба и геометрический смысл перегиба. Схема нахождения точек перегиба с демонстрацией на конкретных примерах.
- •17. Асимптоты и способы их отыскания с демонстрацией на конкретных примерах
- •18*. Понятие функции нескольких переменных (с примерами). Линии уровня. Нахождение линий уровня на конкретном примере.
- •19. Определение предела и непрерывности функции нескольких переменных (привести примеры).
- •20. Полное приращение функции нескольких переменных. Определение частной производной с геометрической интерпретацией. Вычисление частных производных на конкретных примерах.
- •21. Частные производные высших порядков, смешанные производные (с демонстрацией на конкретных примерах). Теорема о смешанных производных (для функции двух переменных и общий случай).
- •22. Производная по направлению, градиент функции.
- •23. Дифференциалы первого и высших порядков функции двух переменных.
- •24. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных с демонстрацией на конкретном примере.
- •25. Достаточное условие экстремума функции двух переменных с демонстрацией на конкретном примере.
17. Асимптоты и способы их отыскания с демонстрацией на конкретных примерах
Асимптотой кривой нрчазывается прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой стремится к 0 при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.
Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Вертикальная. Если вертикальная асимптота. Их следует искать в точках разрыва ф-и или на концах ее области определения.
Г оризонтальная. если существует горизонтальная асимптота.
Наклонная. Если существует наклонная асимптота.
П
Х=0 – вертикальная асимптота
Горизонтальных
асимптот нет
y=x –
наклонная асимптота
18*. Понятие функции нескольких переменных (с примерами). Линии уровня. Нахождение линий уровня на конкретном примере.
Если каждому набору n переменных x1,…, xn из некоторого множества Х соответствует одно определенное значение переменной z, то говорят, что задана функция нескольких переменных
Множество Х – область определения ф-ии.
Графиком ф-ии 2х переменных явл множество точек 3х мерного пространства (x, y, z) и представляет собой некоторую поверхность (геометрическое место точек).
Пример1. . Графиком явл окр-ть.
Пример2. , Графиком явл сфера (шар).
Линией множества ф-ии 2х переменных z=f(x,y) называется геометрическое место точек плоскости, в котором ф-я принимает одно и тоже значение С=const.
Линию уровня можно построить, спроектировав на плоскость xy множество точек пространства xyz, лежащих в пересечении поверхности zxy плоскости z=C.
Число С называется уровнем. Там, где линии гуще, ф-ии меняются быстрее, поверхность, изображающая ф-ю, идет круче. А там, где линии располагаются реже, ф-я изменяется медленнее.
Отметки на линии уравнения дают непосредственное значение ф-ии в точках этих линий.
Уравнение линий уровня: f(x,y)=C.
Например, линиями уровня ф-ии явл концентрические окружности радиуса с центром в начале координат.
19. Определение предела и непрерывности функции нескольких переменных (привести примеры).
Число А называется пределом ф-и z=f(x,y) при х→хо, у→уо, если для любого числа ε>0 найдется число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), такое, что для всех точек (х,у), отстоящих от точки (хо, уо) на расстояние меньшее, чем δ, выполняется неравенство |f(x,y) – A|<ε.
Ф-я z=f(x,y) называется непрерывной в точке (хо, уо), если она: 1)определена в точке (хо, уо); 2)имеет конечный предел при х→хо, у→уо; 3)этот предел равен значению ф-и в точке (хо, уо), т.е.
20. Полное приращение функции нескольких переменных. Определение частной производной с геометрической интерпретацией. Вычисление частных производных на конкретных примерах.
Дадим аргументу х приращение Δх, аргументу у – приращение Δу. Тогда ф-я z получит наращенное значение f(x+Δx, y+Δy). Величина Δz=f(x+Δx, y+Δy) – f(x,y) называется полным приращением ф-и в точке (x,y). Если задать только приращение аргумента х или только приращение у, то полученные приращения ф-и соответственно Δхz=f(x+Δx,y) – f(x,y) и Δуz=f(x,у+Δy) – f(x,y) называются частными. Геометрически Δz представляет собой разность аппликат точек к поверхности z=f(x,y) соответствующим точкам (х,у) и (x+Δx, y+Δy).
Частной производной ф-и нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения ф-и к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует), т.е. .
(используются также обозначения .
Пусть график ф-и z=f(x,y) есть некоторая поверхность Р, а сечение ее плоскостью у=у0 – кривая Гх. Частная производная z’x выражает угловой коэффициент касательной к кривой Гх в заданной точке (хо, уо), т.е. z’x(хо, уо)=tgα, где α – угол наклона касательной к оси Ох. Аналогично z’у(хо, уо)=tgβ.
Для нахождения частной производной по одной переменной все другие переменные (на время дифференцирования) считают постоянными величинами.
Например,