Критерий Сильвестра
f(x1, x2, …, x4) = a11x1² + a21x1x2 + a21x2x1 + … + a1nx1xn + an1xnx1 + a22x2² + … + annxn² – квадратичная форма.
Матрица квадратичной формы:
a11 a12 … a1n
Anxn = a21 a22 … a2n
. . . . . . .
an1 an2 … ann
a11 a12 a13
∆ 1 = an, ∆2 = a11 a12 , ∆3 = a21 a22 a23 , …, ∆n = detA
a21 a22 a31 a32 a33
∆1, ∆2, …, ∆n – угловые миноры матрицы А
Критерий Сильвестра заключается в следующем:
1) Квадратичная форма положительна определена <=> ∆1>0, ∆2>0, …, ∆n>0
(все угловые миноры строго положительны)
2) Квадратичная форма отрицательно определена <=> ∆1<0, ∆2>0, ∆3<0, …, (-1)ⁿ∆n>0
(чередования знаков: -, +, -, +, …)
3) Квадратичная форма квазиположительна <=> миноры k-го порядка
∆(i1, i2, …, ik) ≥ 0 [i1 < i2 < … < ik, k = (1,n)]
4) Квадратичная форма квазиотрицательна <=> (-1)ⁿ∆(i1, i2, …, ik) > 0
(∆(i1, i2, …, ik) – миноры k-го порядка)
5) В остальных случаях квадратичная форма будет знакопеременной.
Пример 1
Определить знак квадратичной формы:
f = -x1² - 5x2² - 6x3² + 4x1x2 – 2x1x3
Составим матрицу квадратичной формы:
-1 2 -1
A = 2 -5 0
-1 0 -6
-1 2 -1
∆ 1 = -1 = -1; ∆2 = -1 2 =1; ∆3 = 2 -5 0 = -30 + 5 + 24 = -1
2 -5 -1 0 -6
∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 <0
По критерию Сильвестра f < 0 (отрицательно определена)
Пример 2
При каком значении параметра µ следующая квадратичная форма будет положительно определена.
F = 5x1² + x2² + μx3² + 4x1x2 – 2x1x3 – 2x2x3
F>0, μ=?
М атрица квадратичной формы:
5 2 -1
A3x3 = 2 1 -1
-1 -1 μ
Критерий Сильвестра:
∆1=5
∆ 2= 5 2 = 5-4=1
2 1
∆1>0, ∆2>0
5 2 -1 -1 5 2 -1 3 2 -1
∆3= 2 1 -1 > 0 -3 -1 0 > 0 -2 -1 0 > 0
- 1 -1 μ -1 -1 μ 0 -1 μ
־¹
(раскладываем по третьей строке)
- 1 · (-1) 5 · 3 -1 + μ (-1) 6 · 3 2 > 0
-2 0 -2 -1
-2 + μ > 0
Ответ: при μ > 2, F > 0
§3 Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
С помощью линейных преобразований квадратичную форму
F = F (x1, x2, …, xn) можно привести к каноническому виду
F = b1y1² + b2y2² + … + bnyn2
Полезная информация:
a11 a22 … a1n x1
Пусть дана матрица Anxn = a21 a22 … a2n Xnx1 = x2
………. …
an1 an2 … ann xn
Рассмотрим произведение:
Anxn · X nx1 = Y nx1
y1
Y = y2
…
yn
Предположим, что yi = λ · xi, i = (1,n), λЄR, λ ≠ 0
Тогда имеем равенство:
(*) A · X = λ · X
В этом случае вектор-столбец X называется собственным вектором матрицы А.
Коэффициент пропорциональности λ называется характеристическим числом матрицы A или собственным значением.
Как найти характеристическое числа и собственные вектора?
- это однородная система линейных уравнений
Система по теореме Крамера имеет ненулевые решения
Таким образом, для нахождения характеристических чисел необходимо и достаточно решать характеристическое уравнения.
Пусть характеристическое число
Для нахождения собственного вектора, соответствующего числу подставлляем в систему
Т.к. ранг матрицы
То система имеет бесконечно много решений.
Можно доказать, что если характеристические числа матрицы квадратичной формы f, то каноническая форма имеет вид:
f = +…+
Рассмотрим решение задачи (аналогичной той, которая есть в домашней контрольной работе)
Задача
Определить вид кривой.
Построить линию
Решение
Обозначим
Это квадратичная формула от двух переменных
, ;
(матричная запись f в системе координат )
Будем искать другую систему координат , в которой f имеет каноническую форму.
ШАГ 1: Составляем характеристическое уравнение
Характеристические
числа
Шаг 2. Находим собственные векторы для каждого числа.
Пусть
λ1 = 20
.
-16x + 12y = 0
.
12x – 9y = 0
[Т.к. r(A)=1, то достаточно оставить одно уравнение.]
1 2x – 9y = 0 => x=3/4y, y R
С обственный вектор в общем виде:
Пусть y=4 b1 =
В дальнейшем нам понадобится орт b1.
| |b1|| = = 5 b1 = e1 =
П усть λ2 = –5
9x + 12y = 0
12x + 16y = 0
Т.к. r(A)=1 => 9x + 12y=0 => x= –4/3y, y R
С обственный вектор в общем виде:
П усть y=3 b2 =
||b2|| = 5
О рт этого вектора b2 = e2 =
З аметим, что e1, e2 образуют ортонормированный базис.
К онтроль! ||e1|| = ||e2|| = 1 (e1 e2)
e 1 e2 = 0 3/5 (–4/5) + (4/5) (3/5) = 0
Шаг 3. Составляем ортонормированную матрицу Q = (e1, e2).
Q =
e1 e2
Шаг 4. Переход к новой системе координат.
T
= Q
=
x1 = 3/5x + 4/5y
x2 = –4/5x + 3/5y
Шаг 5. В новой системе координат.
S (x1, y1) = λ1x12 + λ2y1 2
S (x1, y1) = 20x12 + 5y12
Каноническая форма.
Шаг 6
В новой системе координат X1OY1 уравнение нишей линии имеет вид
20x12 + 5y1 2= - 20 | : 20
сопряженная гипербола
a=1
b=2
Алгебраические поверхности второго порядка.
Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность S, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид :
Ax2+By2+Cz2+2Exz+2Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0
(A2+B2+C2≠0)
Если поверхность невырожденная (т.е. уравнение не задает Ø), то преобразование декартовой прямоугольной системы координат, это уравнение может быть приведено к одному из указанных видов, называемых каноническими и определяющими тип поверхности.
Эллипсоид
Гиперболоид
Однополостный
Двухполостный
Параболоид
Двухполостной параболоид
Гиперболический параболоид (p>0, q>0)
Эллиптический параболоид (p>0, q>0)
Конус второго порядка
Цилиндр второго порядка
Эллиптический
Гиперболический
Параболический , p>0
Э ллипсоид
Сечения плоскостями
y =0
x=0
z=0
Сфера
Однополостный гиперболоид
Сечение плоскостями
y =0
x=0
z=0
Двухполостный гиперболоид
Сечения плоскостями:
z=0 (нет)
о.д.з. =>
|
z
| z| > c
|
a
c
x
-a
y
-c
z
x=0
Г иперболический параболоид
(p>0, q>0)
С ечения на плоскости
z=0
при z > 0
z = 1 гипербола
z = -1 сопряженная гипербола
x=0
y=0
Э ллиптический параболоид
z
Сечения:
X=0
z
x
Y=0
Z=0 (0,0,0) – вершина
z≥0 z=z0 - эллипс
Конус второго порядка
z=c (эллипс)
z=-c
x=0
y=0
Эллиптический цилиндр
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр ,
Пара пересекающихся плоскостей
Пара параллельных плоскостей
Цилиндрические поверхности
Пусть (l) некоторая кривая, лежащая на поверхности S.
Зададим некоторою прямую U (Будем называть «Ось»)
Чтобы получилась цилиндрическая поверхность будем проводить множество прямых q ll u так, чтобы они пересекали нашу кривую (l) В дальнейшем будем называть кривую направляющей, а прямую q – образующей цилиндрическую поверхность. Чтобы узнать, является ли данная поверхность цилиндрической в системе координат (х О у) посмотрите внимательно на уравнение, которым задаём данную поверхность. Если в уравнении отсутствует какая-либо координата, то это уравнение задает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной ‘отсутствующей’ координатной оси, т.е. такими
у равнениями могут быть: 1) F (x,y) = 0 (q ll Oz)
2) F (x,z) = 0 (q ll Oy)
3) F (y,z) = 0 (q ll Ox)
Рассмотрим примеры:
1) y = x2 В плоскости z = 0 (xOy)
Строим параболу и проводим
множество прямых q ll Oz
2) x2 + y2 = 4
В плоскости у = 0 ( хОz) строим окружность с центром (0,0) и R = 2 и проводим множество прямых ll Оу
Конические поверхности
Пусть точка О нам известна. Будем называть ее вершиной конической поверхности l – произвольная кривая линия на поверхности S.
Если проводить множество прямых q, проходящих через вершину О и пересекающих данную кривую l, то мы получим коническую поверхность. Кривую l называем направляющей, а прямую q – образующей.
В декартовой системе координат уравнение конической поверхности имеет вид:
F (x, y, z) = 0, но функция F обладает свойствами ‘однородность’ степени ‘k’.
F (tx, ty, tz) = tk F( x,y,z), t € R, k =1,2,3…
Например: 2х3-4y3+z3=0
конус третьего порядка О (0, 0, 0 )
All rights reserved ©