Примеры
Задача №1. Исследовать функцию и построить её график.
Решение:
Область определения функции:
Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x)
Непериодическая.
Найдём асимптоты.
Найдём наклонную асимптоту:
нет асимптот.
Найдём критические точки.
Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
ОХ: ,
OY:
Составим таблицу знаков производных и поведения функции.
|
|
0 |
(0;2) |
2 |
(2;4) |
4 |
|
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
y |
убывает |
0 min |
возрастает |
1 max |
убывает |
0 min |
возрастает |
Построим график функции.
Задача №2.Исследовать функцию и построить её график.
Решение:
1) Область определения функции: .
2) Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x)
3) Непериодическая.
4) Найдём асимптоты.
Найдём наклонную асимптоту:
нет асимптот.
5)Найдём критические точки.
6)Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
ОХ:
OY:
7) Составим таблицу знаков производных и поведения функции и по её данным построим график функции.
|
|
0 |
(0;1/2) |
1/2 |
(1/2;1) |
1 |
(1;+ ) |
|
- |
|
- |
0 |
+ |
|
+ |
|
убывает |
0 |
убывает |
-1 min |
возрастает |
0 |
возрастает |
Решение:
Задача №4: Найти асимптоты функции:
Решение:
Так как функция не определена в точках = 1, то -вертикальные асимптоты.
Найдём наклонную асимптоту:
Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:
; .
.
Получили: - наклонная асимптота.
Задача №5. Исследовать функцию и построить её график.
Решение:
Область определения функции: .
2)Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x)
3)Непериодическая.
4) Найдём асимптоты.
Вертикальные: , так как в этих точках функция не определена.
Найдём наклонную асимптоту.
Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:
; .
.
Наклонных асимптот нет.
5) Найдём критические точки и промежутки монотонности функции:
6)Составим таблицу знаков производных и поведения функции.
|
|
-3 |
|
-1 |
(-1;1) |
1 |
|
|
- |
|
- |
0 |
+ |
|
+ |
|
- |
|
+ |
+ |
+ |
|
- |
|
убывает |
|
убывает |
-1 |
возрастает |
|
убывает |
7)Построим график функции.
Задача №6. Исследовать функцию и построить её график.
Решение:
1) Область определения функции: .
2)Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x)
3)Непериодическая.
4) Найдём асимптоты.
Вертикальные: , так как функция терпит разрыв в этих точках.
Найдём наклонную асимптоту.
Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:
; .
-наклонная асимптота.
5) Найдём критические точки.
- не входит в область определения функции
6)Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
ОХ:
7) Составим таблицу знаков производных и поведения функции.
|
|
0 |
4 |
|
|
- |
|
|
- |
|
- |
|
|
+ |
|
убывает |
|
|
убывает |
8) Построим график функции.
Задача №7.Исследовать функцию и построить её график.
Решение:
Область определения функции .
2)Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x)
3)Непериодическая.
4) Найдём асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.
Найдём наклонную асимптоту.
Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:
Наклонных асимптот нет.
5) Найдём критические точки.
Найдём точки перегиба.
ОХ:
7) Составим таблицу знаков производных и поведения функции.
|
|
2 |
(2;5/2) |
5/2 |
(5/2;3) |
3 |
(3;+ ) |
|
- |
|
+ |
+ |
+ |
|
- |
|
- |
|
- |
0 |
+ |
|
+ |
|
убывает |
1 |
возрастает |
0 |
возрастает |
-1 |
убывает |
8) Построим график функции.
Задача №8. Исследовать функцию и построить её график.
Решение:
1)Область определения функции .
2)Функция общего вида, т. к. f(-x) f(x), f(-x) -f(x).
3)Периодическая: .
4)Асимптоты отсутствуют.
5) Найдём критические точки.
6)Найдём точки перегиба.
Найдём точки пересечения графика функции с осями координат: с
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
- |
- |
0 |
+ |
|
+ |
0 |
- |
- |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
|
возр. |
e |
возр. |
|
убывает |
|
убывает |
|
возр. |