Решение многомерной задачи оптимизации методом покоординатного спуска.

Первоначально выбирается некоторая точка с координатами , как показано на рисунке 16.1 Затем фиксируются все координаты функции кроме первой и получаем функцию одной переменной :

(16.1)

Решая таким образом одномерную задачу оптимизации для этой функции, от точки переходим к точке В ней функция принимает наименьшее значение по координате или первому проектному параметру при фиксированных остальных координатах. В этом состоит первый шаг процесса оптимизации, заключающийся в спуске по координате .

Следующий шаг заключается в фиксировании всех координат, кроме второй:

(16.2)

Снова решая задачу одномерной оптимизации, находим наименьшее значение функции при , т.е. в точке Аналогично производится спуск по координатам . В результате этого получаем последовательность точек , , …, , в которых значение целевой функции составляет монотонно убывающую последовательность

Таким образом, метод покоординатного спуска сводит задачу многомерной оптимизации к многократному решению одномерной оптимизации по каждому проектному параметру. Сходимость данного метода зависит от вида функции и выбора начального приближения.

Рисунок 16.1- Пояснение к методу покоординатного спуска

Блок-схема метода покоординатного спуска.

Как показано на рисунке 16.2 в исходных данных задаются первоначальные значения всех проектных параметров и число этих параметров . Затем выполняется нахождение целевой функции при исходных значениях всех проектных параметров. После чего определяется минимальное значение функции по одному параметру при фиксации всех остальных. Если не достигается требуемая точность , то вычисления продолжаются.

Рисунок 16.2 – Блок- схема метода покоординатного спуска

Лекция 17

Численное дифференцирование.

Аппроксимация производных.

Как известно производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении его к нулю:

(17.1)

В численных расчетах на ЭВМ для вычисления производных используют приближенное равенство:

(17.2) При этом и полагают равным некоторому конечному числу. Поэтому это соотношение (17.2) называется аппроксимацией производных с помощью отношения конечных разностей.

Дана функция , заданная в табличной форме в виде: и Предположим, что разность между соседними значениями аргумента постоянна и равна шагу . Выражения для вычисления производной при в зависимости от способа нахождения конечных разностей могут быть следующими:

; ; ; (17.3) при вычислении с помощью левых разностей;

; ; ; (17.4) при вычислении с помощью правых разностей;

; ; ; (17.5) при вычислении с помощью центральных разностей.

Используя этот прием можно найти приближенные значения производных любого порядка.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений численными методами.

Понятие решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Многие задачи механики, физики и других отраслей науки и техники

при их математическом моделировании сводятся к дифференциальным уравнениям. В зависимости от числа независимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на обыкновенные, содержащие одну независимую переменную, и уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.

Будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, которые в общем виде записываются

, (17.6)

где - независимая переменная, - линейная функция, - производные от первого до порядка.

Решением дифференциального уравнения (17.6) называется всякая функция , которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество. Общее решение дифференциального уравнения порядка имеет следующий вид:

(17.7)

где - произвольные постоянные.

Геометрически общее решение ОДУ описывается бесконечным семейством интегральных кривых с параметром , а частному решению соответствует одна кривая с параметром . Для выделения частного решения уравнения первого порядка достаточно задать координаты произвольной точки, т.е. одно дополнительное условие.

Для решения уравнений более высокого порядка надо задать столько дополнительных условий, сколько произвольных постоянных в общем решении, т.е. каков порядок уравнения.

В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения ОДУ выделяют два типа задач:

1. Задачи Коши соответствуют заданию условий в одной точке , которая

называется начальная точка начального условия.

2. Краевые задачи соответствуют заданию условий в более, чем одной точке,

например, в двух точках и . Условия называются граничными или

краевыми.