Тема 3. Элементы аналитической геометрии Теоретические вопросы
Общее уравнение плоскости в пространстве. Различные уравнения плоскости в пространстве.
2. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве: угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
3. Различные уравнения прямой линии в пространстве (с опорной точкой и направляющим вектором, через две опорные точки, каноническое, параметрические, по двум пересекающимся плоскостям).
4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (угол между двумя прямыми, условия параллельности, перпендикулярности, пересечения, сливания и скрещивания двух прямых в пространстве).
5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве (угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости). Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.
6. Различные уравнения прямой на плоскости: с опорной точкой и направляющим вектором, через две точки, с угловым коэффициентом, с опорной точкой и вектором нормали, общее уравнение и его частные случаи, в отрезках на осях. Расстояние от точки до прямой.
7. Взаимное расположение двух прямых на плоскости: угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Расчетные задания
Задание 17 (Аналитическая геометрия в пространстве)
Даны координаты точек M, N, P, Q (см. ниже).
1. Найти координаты векторов , разложить их по базисным ортам прямоугольной декартовой системы координат, найти длины (модули) векторов.
2. Вычислить косинус угла между рёбрами MN и MP.
3. Найти площадь грани MNP.
4. Вычислить проекцию вектора на вектор .
5. Найти направляющие косинусы вектора .
6. Вычислить объём пирамиды MNPQ (двумя способами).
7. Найти длину высоты пирамиды, опущенной из точки .
8. Написать общие уравнения плоскостей MNP, MPQ, привести к нормальному виду и к виду уравнения в отрезках на осях (сделать проверку), найти угол между этими плоскостями.
9. Написать общее уравнение плоскости , проходящей через точку Q, параллельно плоскости MNP.
10. Написать общее уравнение плоскости , проходящей через точки , перпендикулярно плоскости MNP.
11. Написать канонические и параметрические уравнения прямой , образованной в результате пересечения плоскостей , ( ).
12. Написать канонические и параметрические уравнения прямых , .
13. Написать канонические и параметрические уравнения прямой , проходящей через точку , перпендикулярно плоскости MNP.
14. Написать канонические и параметрические уравнения прямой , проходящей через точку , параллельно прямой .
15. Найти точку пересечения прямой с плоскостью MNP.
16. Найти угол между прямой и плоскостью MNP.
Исходные координаты точек M, N, P, Q (в cоответствии с вариантами)
М(–3, –2, –4), N(–4, 2, –7), P(5, 0, 3), Q(–1, 3, 0);
М(2, –2, 1), N(–3, 0, –5), P(0, –2, –1), Q(–3, 4, 7);
М(1, 3, 2), N(3, 2, 7), Р(4, 0, 0), Q(–2, 1, 2);
M(3, 6, –2), N(0, 2, –3), Р(1, –2, 0), Q(–7, 6, 6);
М(1, –4, 1), N(4, 4, 0), P(–1, 2, –4), Q(–9, 7, 8);
М(1, –2, 1), N(3, 1, –2), Р(2, 2, 5), Q(–2, 1, 0);
М(0, 6, –5), N(8, 2, 5), Р(2, 6, –3), Q(5, 0, –6);
М(–2, 4, –6), N(0, –6, 1), Р(4, 2, 1), Q(7, –1, –8);
М(–4, –2, –5), N(1, 8, –5), P(0, 4, –4), Q(9, –2, –10);
М(3, 4, –1), N(2, –4, 2), P(5, 6, 0), Q(11, –3, –12);
М(2, –3, 1), N(6, 1, –1), Р(4, 8, –9), Q(2, –1, 2);
М(5, –1, –4), N(9, 3, –6), Р(7, 10, –14), Q(5, 1, –3);
М(1, –4, 0), N(5, 0, –2), Р(3, 7, –10), Q(1, –2, 1);
М(–3, –6, 2), N(1, –2, 0), Р(–1, 5, –8), Q(–3, –4, 3);
М(–1, 1, –5), N(3, 5, –7), Р(1, 12, –15), Q(–1, 3, –2);
М(1, –3, –4), N(–1, 0, 2), Р(2, –4, –6), Q(1, 1, 1);
М(0, 4, 3), N(4, 8, 1), Р(2, 15, –7), Q(0, 6, 4);
М(–2, 0, –2), N(2, 4, –4), Р(0, 11, –12), Q(–2, 2, –1);
М(3, 3, –3), N(7, 7, –5), Р(5, 14, –13), Q(3, 5, –2);
М(1, 1, –1), N(0, 1, 2), Р(5, 4, –3), Q(0, 2, –6);
М(1, 1, 1), N(2, 2, 2), Р(5, –4, –3), Q(1, –2, –6);
М(1, 1, 2), N(3, 5, –2), Р(2, 3, –5), Q(0, –3, 2);
М(0, –1, 2), N(2, 0, –4), Р(1, 2, 5), Q(4, –1, 3);
М(0, 1, –2), N(–2, 0, 2), Р(1, 2, 3), Q(4, –2, 1);
М(0, 6, –5), N(8, 2, 5), Р(2, 6, –3), Q(5, 0, –6);
М(0, 2, 3), N(3, –2, –1), Р(2, 6, –3), Q(4, 0, –6);
М(1, 2, 3), N(2, 4, 6), Р(2, 6, 0), Q(3, 2, –1);
М(–1, –2, –3), N(–2, –4, –6), Р(–2, 1, 0), Q(–3, 2, 1);
М(1, 4, 0), N(–4, 2, 2), P(1, 2, –3), Q(0, 7, 2);
М(0, 4, 3), N(4, 8, 1), Р(2, 15, –7), Q(0, 6, 4).
Задание 18 (Аналитическая геометрия в пространстве). Решить задачу.
Выяснить, лежат ли точки М(–1, 2, –2), N(1, 0, 5), Р(–3, 4, –9) на одной прямой . Найти уравнение этой прямой и представить его во всех формах записи. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку (0, 2, 5) и содержащей прямую .
Написать уравнение плоскости , проходящей через точки , и прямую .
Даны плоскость : и прямая , являющаяся пересечением двух плоскостей , . 1. Написать уравнение плоскости , содержащей в себе прямую и перпендикулярной к плоскости . 2. Найти расстояние от точки до плоскости . 3. Найти угол между плоскостями , .
Выяснить, как расположены относительно друг друга прямые, заданные уравнениями ,
Написать уравнение плоскости , проходящей через точки , параллельно прямой .
Даны две плоскости , . Найти: 1) угол между плоскостями; 2) уравнение прямой (записать уравнение прямой во всех видах), по которой пересекаются плоскости.
Заданы плоскость : и прямая .
1. Вычислить угол между плоскостью и прямой . 2. Найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью. 3. Написать уравнение плоскости , содержащей прямую , перпендикулярную к плоскости .
Написать уравнение плоскости , проходящей через точки , , перпендикулярно к плоскости : . Найти расстояние от точки до плоскости и уравнение линии пересечения плоскостей , .
Написать уравнение прямой как линию пересечения плоскостей : , . Найти расстояние от точки до этой прямой . Выяснить вопрос о взаимном расположении прямой и прямой .
Написать уравнение прямой как линию пересечения плоскостей : , . Найти расстояние от начала координат до этой прямой . Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и содержащей прямую .
Написать уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно прямой : Найти расстояние от точки до этой прямой .
Установить, что точки М(1, 2, 3), N(10, 8, 4), Р(1, 2, 3) лежат на одной прямой . Найти уравнение этой прямой и представить его во всех формах записи. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку (0, 2, 5) и содержащей прямую .
Составить общее уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно векторам (–5, 6, 4), (2, –1, 0). Сделать проверку правильности составления уравнения плоскости . Выяснить, принадлежит ли плоскости точка .
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , , и точку М(–2, 3, 0). Выяснить, принадлежит этой плоскости точка .
Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через линию пересечения плоскостей . Найти угол между этими плоскостями.
Составить: 1) уравнение плоскости , проходящей через точку и содержащей прямую 2) уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярно к прямой .
Составить уравнение прямой , проходящей через :
1) параллельно прямой : 2) перпендикулярно к прямой ;
3) написать уравнение плоскости , содержащей точку и .
Доказать, что прямые параллельны, и найти расстояние между ними.
Проверить, лежат ли прямые : и : в одной плоскости. Если лежат, то найти общее уравнение этой плоскости.
Составить общее уравнение плоскости , проходящей через прямую : , параллельно прямой . Выяснить, принадлежит ли точка этой прямой.
Найти координаты точки пересечения прямой : и плоскости .
Найти угол между прямой : и плоскостью : . Через точку проведен перпендикуляр к плоскости . Найти площадь треугольника, образованного точкой , точкой пересечения прямой с плоскостью и точкой пересечения прямой с плоскостью . Сделать схематический рисунок к задаче.
Заданы плоскость : и точка . Написать уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно . Найти расстояние между этими двумя плоскостями (сделать рисунок).
Проверить, лежат ли прямые и в одной плоскости. Если лежат, то найти общее уравнение этой плоскости.
Найти угол между прямыми и
Написать уравнение плоскости , проходящей через точки , и прямую
Даны две плоскости , . Найти: 1) угол между плоскостями; 2) уравнение прямой (записать уравнение прямой во всех видах), по которой пересекаются плоскости.
Составить: 1) уравнение плоскости , проходящей через точку и содержащей прямую 2) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .
Выяснить, как расположены в пространстве прямые, заданные уравнениями .
Найти угол между прямыми, заданными уравнениями
Задание 19 (Аналитическая геометрия на плоскости)
Даны вершины треугольника MNP (координаты точек см. ниже). Сделать чертёж в прямоугольной декартовой системе координат (чертеж выполнить в соответствии с масштабом). Найти:
1) длины сторон треугольника MNP;
2) общие уравнения сторон (MN) , (NP), (MP) и их угловые коэффициенты;
3) угол N (через косинус и тангенс);
4) общее уравнение высоты (PQ) и её длину;
5) общее уравнение медианы (MR), координаты точки S пересечения ее с высотой (PQ);
6) уравнение прямой, проходящей через точку S параллельно стороне MN.
Написать линейную систему ограничений, описывающую внутренность треугольника (включая границы треугольника).
-
№
Координаты М, N, P
№
Координаты М, N, P
1
М(–3, 9), N(2, 0), P(7, 4);
2
М(0, 2), N(10, –1), Р(6, 7);
3
М(–4, 6), N(3, –3), P(7, 9);
4
М(1, 8), N(5, 3), Р(3, 0);
5
М(–2, –1), N(0, 10), Р(4, 12);
6
М(–4, 4), N(5, 5), Р(1, –4);
7
М(2, 5), N(10, –4), P(0, –3);
8
М(–1, –3), N(8, 3), Р(4, 7);
9
М(–2, 1), N(10, 0), P(5, 7);
10
М(–6, 8), N(1, 1), Р(4, 5);
11
М(3, 6), N(10, –3), Р(13, 11);
12
М(–10, 5), N(1, –1), Р(0, 10);
13
М(–4, 5), N(0, 0), Р(9, 7);
14
М(–3, –3), N(9, 1), Р(7, 10);
15
М(4, 1), N(–5, –5), Р(0, 8);
16
М(7, 4), N(5, –5), Р(–3, 1);
17
М(0, 3), N(8, 10), Р(4, –3);
18
М(0, 4), N(4; 0), Р(7, 7);
19
М(0, –2), N(–4, 0), Р(7, 7);
20
М(2, 2), N(6, –2), Р(8, 6);
21
М(–3, 0), N(3, 3), Р(2, –5);
22
М(3, –5), N(–4, –4), Р(2, 5);
23
М(5, 2), N(–4, 4), Р(–2, –5);
24
М(–9, 6), N(3, –3), P(7, 4);
25
М(4, 2), N(4, –4), P(6, 8);
26
М(0, 0), N(–4, 6), P(6, 8);
27
М(0, –4), N(10, 9), Р(1, 15);
28
М(0, 3), N(10, –6), Р(5, 8);
29
М(–5, –3), N(4, –5), Р(3, 8);
30
М(–5, 1), N(7, –2), P(1, 7).
Библиографический список
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1983. – 243 c.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. Изд. 6-е. – М.: Наука, 1984. 336 c.
Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975. – 320 c.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1999. – 304 c.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1970. – 324 c.
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. 5-е изд. – М.: Наука, 1974. – 384 c.