6. Нормальные напряжения при изгибе
При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения, величина которых зависит как от внутренних силовых факторов, так и от формы и размеров сечения.
Нормальное напряжение в произвольно выбранной точке поперечного сечения определяется по формуле
(4.8)
где
Mx
- изгибающий момент в данном сечении;
-
момент инерции сечения относительно
нейтральной оси;
y
- расстояние
от нейтральной оси до точки, в которой
определяется напряжение (рис.4.58, а).
Рис. 4.58. К определению: а) нормальных напряжений при изгибе,
б) осевого момента сопротивления сечения с одной осью симметрии
Из формулы (4.8) следует:
- величина нормальных напряжений не зависит от прочностных и деформационных свойств материала, из которого изготовлена балка;
- нормальные напряжения, оставаясь постоянными по ширине сечения, изменяются линейно по его высоте, достигая экстремальных значений в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси
(4.9)
Вводя обозначение Wx для геометрической характеристики сечения, называемой осевым моментом сопротивления,
,
(4.10)
формулу (4.9) можно записать иначе
.
(4.11)
Если сечение несимметрично относительно нейтральной оси, вычисляются два значения осевых моментов сопротивления путем подстановки в формулу (4.10) значений ординат для крайних растянутых и крайних сжатых волокон, балки (рис.4.58,б):
;
. (4.12)
Напряжения в крайних растянутых и сжатых волокнах при этом различаются не только знаком, но и численным значением :
.
(4.13)
Формулы для определения геометрических характеристик простых геометрических фигур и прокатных профилей приведены в разделе «Приложения».
Пример 4.12. Требуется определить максимальные нормальные напряжения в балке прямоугольного сечения шириной b=6см и высотой h=12см, если в поперечном сечении балки действует изгибающий момент М, равный 25 кНм.
Осевой момент сопротивления балки прямоугольного сечения
.
Максимальные нормальные напряжения действуют в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси
Пример 4.13. Требуется определить нормальное напряжение в точке А поперечного сечения балки (рис.4.59) и величину максимальных нормальных напряжений, если в поперечном сечении балки действует изгибающий момент М, равный 30 кНм.
Рис. 4.59. Поперечное сечение балки
Осевой момент инерции заданного сечения балки относительно оси x может быть представлен как разность моментов инерции двух фигур: квадрата 12×12 см и отверстия - квадрата 6×6 см относительно этой же оси
Осевой момент сопротивления балки прямоугольного сечения
.
Нормальные напряжения в точке А определяются по формуле 4.8
Максимальные нормальные напряжения
