Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции Теория вероятностей и мат.статистика.doc
Скачиваний:
540
Добавлен:
17.04.2014
Размер:
4.46 Mб
Скачать

7

Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики. Роль теории вероятностей в экономических исследованиях.

Теория вероятностей – специальный раздел курса высшей математики,

занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Следует особо подчеркнуть, что методы теории вероятностей по самой своей природе не дают возможности предсказать исход отдельногослучайного явления, но дают возможностьпредсказать средний суммарный результатмассы однородных случайных явлений.

Методы теории вероятностей широко используются в экономике, в теории надежности, теории информации, теории массового обслуживания, в теории принятия решений, в физике, астрономии и др. дисциплинах. Теория вероятностей лежит в основе математической статистики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, контроле качества продукции и т.д.Математическая статистика– наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для осуществления научно обоснованных прогнозов и практических рекомендаций.

Можно сказать, что предметом курса ТВ и МС является анализ случайных явлений как объективного феномена (пример– студенты случайно оказались в АУ).

В экономике, технике и других областях человеческой деятельности очень часто приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать.

В связи с этим при изучении, например, экономических явлений обычно используют их упрощенные формальные описания (экономические модели). Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных и финансовых рынках и многие другие. При построении модели выявляются существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасываются детали, несущественные для решения поставленной проблемы. По своему определению любая экономическая модель абстрактна и, следовательно, не полна, поскольку, выделяя наиболее существенные факторы, она абстрагируется от менее существенных, которые в совокупности могут определять не только отклонения в поведении объекта, но и само его поведение. Так, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на какой-либо товар определяется его ценой и доходом потребителя. На самом же деле на величину спроса оказывает также влияние ряд других факторов: вкусы и ожидания потребителей, цены на другие товары, воздействие рекламы, моды и так далее.

Поэтому любое экономическое исследование всегда предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Основным элементом экономического исследования является исследование взаимосвязей экономических переменных. Изучение таких взаимосвязей осложнено тем, что они – особенно в макроэкономике – не являются строгими, функциональными зависимостями. Кроме этого:

  1. всегда очень трудно выявить все основные факторы, влияющие на результативный признак (исследуемый показатель);

  2. часто воздействия являются случайными, то есть содержат случайную составляющую;

  3. экономисты, как правило, располагают ограниченным набором данных статистических наблюдений, которые к тому же содержат различного рода ошибки.

Использование методов теории вероятностей и математической статистики часто позволяет упростить построение математической модели экономической системы, выявить существенные для ее описания факторы и оценить достоверность получаемых на основе модели прогнозных значений интересующего нас показателя.

Можно выделить два типа моделей описания объектов окружающего мира (в частности, экономических). Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели (Пример – при равноускоренном движении тела из состояния покоя пройденный путь пропорционален квадрату времени движения, или спрос обратно пропорционален цене товара).Стохастическиедопускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют для их описания методы теории вероятностей и математической статистики.

Вообще говоря, все наблюдаемые события (явления) окружающего нас мира можно подразделить на следующие три вида: достоверные,невозможныеислучайные.

Достовернымназывают событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Пример – лед плавится при температуре выше нуля. (Приведите примеры еще)

Невозможнымназывают событие, которое заведомо не произойдет при выполнении определенной совокупности условий. Пример – лед не может существовать при 100 градусах Цельсия, Земля не может без влияния извне прекратить свое вращение.

Случайнымназывают событие, которое при осуществлении совокупности условий может произойти, либо не произойти. Пример – выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости, попадание снаряда в цель, выход из строя технического устройства, получение определенной прибыли фирмой и т.п.

Объектами изучения теории вероятностей и математической статистики являются именно случайные события, величины и функции, которые характеризуют рассматриваемое случайное явление. Случайное событие характеризуется определенной вероятностью его наступления. Под вероятностью понимается числовая мера степени возможности появления данного события при определенных условиях.

Каждое случайное событие есть следствие очень многих причин, учесть влияние которых на результат очень сложно (а часто и невозможно). Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие, или нет, а лишь выявляет определенные закономерности появления какого-либо результата в большом числе испытаний.

Иногда трудно провести грань между невозможным и чрезвычайно маловероятным событием, например, 1. может ли человек прожить до 1000 лет? (Вероятность 1 деленная на 10^10^35) .Вероятность того, что при вытаскивании 25 букв (с возвращением) разрезной азбуки получится фраза “Мой дядя самых честных правил” (вероятность (1/32)25= 2,35*10-38. Подобные события называютсяпрактически невозможными. Считать или нет событие практически невозможным, зависит от того, к насколько важным последствиям оно может привести. Например, вероятностью потери определенной суммы денег при определенной финансовой операции, равной 0,01, можно пренебречь (считать, что разорение является практически невозможным), а той же вероятностью нераскрытия парашюта при прыжке – нельзя.

Принципиально важным структурным компонентом курса ТВ и МС является набор типовых схем взаимодействияслучайных событий. Они позволяют получить соотношения для вероятностей прикладных ситуаций (схема Бернулли, схема Байеса).

Определение вероятностей конкретных событий является отдельной проблемой ТВ. За исключением особо простых случаев, когда вероятность может быть определена исходя из соображений симметрии или здравого смысла, как правило, используется частотный подход, позволяющий подсчитывая частоту наступления случайного события, судить о его вероятности. При этомпредельные теоремыТВ устанавливают возможные границы ошибки.

Еще одним важным структурным компонентом ТВ являются случайные величины. Случайные величины характеризуютсязаконами распределения, которые связывают значение случайной величины с ее вероятностью. Это позволяет установить закономерности изменения случайных величин в различных типовых ситуациях. Такие закономерности отображаютфункция распределения вероятности случайной величиныиплотность вероятностислучайной величины. Примером такой закономерности является так называемыйнормальный законраспределения случайных величин (закон Гаусса).

В прикладном аспекте основные закономерности ТВ используются в математической статистике. Одним из основных в МС является понятие генеральной совокупности– полной численной характеристики исследуемых объектов, а также понятиевыборки– частичной, достаточной для практики, совокупности данных (пример 1 – проверить знание студента – спросить все 80 вопросов (генеральная совокупность) или ограничиться 3-5 (выборка); другой пример – необходимо оценить процент бракованных спичек в продукции спичечной фабрики).

Математическая статистика оперирует также с оценками законов распределения случайных величин, выявляя такие характеристики, как математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия (разброс), а также занимается решением прикладных задач, которые позволяют, в частности, оценить вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал значений.

Математическая статистика, используя специальный математический аппарат регрессионного и корреляционного анализа, помогает установить форму зависимости результативного признака от параметров и оценить степень их важности и взаимосвязи. Крайними (предельными) случаями в этом плане являются некоррелированные (несвязанные) и функционально связанные величины.

Возникновение теории вероятности, как науки, было обусловлено потребностью практики. Формирование интереса к задачам, связанным с вероятностями, происходило не только в связи с азартными играми в кости и карты (Паскаль, Ферма). Задачи на вычисление вероятностей ставили начавшее развиваться страховое дело, службы по изучению статистики народонаселения, которые нуждались в теоретически обоснованных методах обработки наблюдений. Таким образом, в начале семнадцатого века, под влиянием возникающих новых экономических отношений и новых научных проблем начала формироваться наука, изучающая:

  • особого рода законы, которым подчиняются случайные величины;

  • свойства случайных массовых событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий и т.д.

Традиционные методы теории вероятностей и математической статистики – теория оценивания и проверки гипотез, лежат в основе эконометрики, которая устанавливает и исследует количественные закономерности и взаимозависимости в экономике. Эконометрика позволяет строить экономические модели и оценивать их параметры, проверять гипотезы о свойствах экономических показателей и формах их взаимосвязи, что служит основой для экономического анализа и прогнозирования и создает возможность принятия обоснованных экономических решений.

Следует отметить, что используемые в менеджменте методы теории принятия решений, также базируются на ТВ и МС. В управлении приходится иметь дело с явлениями, на которые оказывает влияние множество факторов, не поддающихся строгому учету и контролю. Влияние этих факторов вызывает некоторый неконтролируемый разброс (случайное рассеяние) количественных признаков, будь то качество продукции, производительность технологической линии, объем валовой продукции предприятия, продолжительность какой-либо технологической операции или заработок отдельных рабочих.

Объективное суждение менеджера о закономерностях такого рода стохастическихиливероятностныхпроцессов, выбор и обоснование решения возможны лишь на основе вероятностно – статистического анализа исследуемого явления.

Приведем лишь два примера использования ТВ и МС в менеджменте.

  1. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг. В портфель могут входить акции, облигации, депозитные сертификаты, недвижимость и т.п. Главная цель в формировании портфеля состоит в достижении оптимального сочетания между риском и доходом инвестора, т.е. в снижении до минимума риска потерь и максимизации дохода (Гарри Марковиц – Нобелевская премия по экономике). Решение данной задачи может быть получено только при использовании аппарата ТВ – стандартного отклонения ставок дохода по портфелю (ассоциируется с риском портфеля) и матрицы ковариации

  2. Принятие решений в условиях неопределенности. Решение может приниматься на основе максимизации наиболее вероятных доходов. Например, пусть фирма поставляет на рынок и продает некоторый скоропортящийся продукт. Фирма может продать от 1 до 5 единиц товара.

Количество единиц товара, закупаемого в день

1

2

3

4

5

Частота

5

10

15

15

5

Относительная частота (вероятность)

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

Максимальный доход (прибыль)

0,6

1,2

1,8

2,4

3,0

На основании анализа вероятностей и величины дохода менеджер может принять решение о поставке на рынок 4 единиц товара.

Лекция 2. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных событий. Совместные и несовместные события. Операции над событиями. Алгебра и сигма-алгебра событий.

Понятие случайного эксперимента.

Реализация намеченного действия, приводящая к некоторому результату, называется экспериментом (опытом). Если, исходя из условий, описывающих эксперимент, его результат предсказуем, то такой эксперимент является детерминированным. (Пример: подброшенный вверх камень обязательно упадет вниз. Повышение жизненного уровня вызывает рост потребления товаров. Поломка системного блока выводит из строя компьютер.)

Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым из некоторой совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя сказать каким именно. ТВ исследует именно случайные эксперименты, вернее моделиэкспериментов со случайными исходами. При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять (воспроизводить) при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере теоретически). Будем рассматриватьсобытиекак результат испытания.Примеры:1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на несколько частей. Выстрел – это испытание, попадание в определенную область мишени – событие.2.Извлечение шара из урны – испытание, появление шара определенного цвета – событие.3.Сдача экзамена – испытание (случайный эксперимент), получение оценки – событие.

Пространство элементарных событий.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий

События называютэлементарными событиями(элементарными исходами). Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называютпространством элементарных событий, а сами элементарные события – точками пространства.

Пространство элементарных событий обычно считается заданным, если указаны все его элементы. Пример: Для эксперимента с подбрасыванием игральной кости пространство элементарных событий образует совокупность элементарных исходов {1,2,3,4,5,6}; при подбрасывании монеты {О,Р}.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Иными словами, каждое случайное событие А определяется как подмножество в множестве элементарных событий . При этом те элементарные события из, при которых событие А наступает (т.е. принадлежит подмножеству А) называютблагоприятствующимисобытию А (благоприятствующие исходы). Говорят, что событиеАпроизошло, если результатом эксперимента явился элементарный исход, принадлежащийА(А).Пример:При подбрасывании игральной кости событию “выпадение четного числа очков” благоприятствуют элементарные исходы {2,4,6}. Сдаче экзамена благоприятствует получение 3, 4 или 5 баллов.

Совместные и несовместные события.

Два события называются совместнымив данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого.Примеры: попадание в неразрушаемую цель двумя различными стрелками, выпадение одинакового числа очков на двух кубиках.

Два события называются несовместными(несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны. Примеры несовместных событий: а) попадание и промах при одном выстреле; б) из ящика с деталями наудачу извлечена деталь – события “извлечена стандартная деталь” и “извлечена нестандартная деталь” в) разорение фирмы и получение ею прибыли.

Другими словами, события АиВсовместны, если соответствующие множестваАиВимеют общие элементы, и несовместны если соответствующие множестваАиВне имеют общих элементов.

При определении вероятностей событий часто используется понятие равновозможныхсобытий. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них объективно не является более возможным, чем другие (выпадение герба и решки, появление карты любой масти, выбор шара из урны и т.п.)

Операции над событиями (сумма, разность, произведение).

С каждым испытанием связан ряд событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, при бросании игральной кости событие есть выпадение двойки, а событие– выпадение четного числа очков. Очевидно, что эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга. Тогда

  • каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;

  • всякое событие , связанное с этим испытанием, есть множество конечного или бесконечного числа элементарных событий;

  • событие происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

Произвольное, но фиксированное пространство элементарных событий , можно представить в виде некоторой области на плоскости. При этом элементарные события– это точки плоскости, лежащие внутри. Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. По аналогии с теорией множеств строитсяалгебра событий. При этом могут быть определены следующие операции и соотношения между событиями:

AB (отношение включения множеств: множествоАявляется подмножеством множестваВ)событие A влечет за собой событие В. Иначе говоря, событиеВпроисходит всякий раз, как происходит событиеA.Пример- выпадение двойки влечет за собой выпадение четного числа очков.

(отношение эквивалентности множеств) событиетождественноилиэквивалентнособытию. Это возможно в том и только в том случае, когдаи одновременно, т.е. каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое.Пример– событие А – поломка прибора, событие В – поломка хотя бы одного из блоков (деталей) прибора.

()сумма событий.Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событийили(логическое "или"). В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.Пример– цель поражена первым орудием, вторым или обоими одновременно.

()произведение событий.Это событие, состоящее в совместном осуществлении событийи(логическое "и"). В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий. Таким образом, событияинесовместны, если произведение их есть событие невозможное, т.е. .Пример– событие А – вынимание из колоды карты бубновой масти, событие В – вынимание туза, тогда- появление бубнового туза.

разность событий. Это событие, состоящее из исходов, входящих в, но не входящих в. Оно заключается в том, что происходит событие, но при этом не происходит событие. Пример – А – сдача экзаменационной сессии, В – получение степени, тогда А-В – сдача сессии с недостаточно высоким для получения стипендии результатом.

Противоположным (дополнительным)для события(обозначается) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в.

Наступление события означает просто что событиене наступило.

Часто оказывается полезной геометрическая интерпретация операций над событиями. Графическая иллюстрация операций называется диаграммами Венна.