- •Введение.
- •Построение простых иерархий доминантного типа.
- •Технологический процесс можно рассматривать как систему, элементами которой являются отдельные операции. Их взаимосвязь представлена матрицей зависимостей, приведенной в таблице.
- •Шкала т. Саати.
- •Метод парных сравнений.
- •Мера согласованности.
- •Вектор приоритетов.
- •Пример построения вектора приоритетов.
- •Порядок выполнения работы.
- •Классические критерии принятия решений.
Вектор приоритетов.
Проведем математическую обработку матрицы парных сравнений в шкале Саати с целью получения вектора приоритетов сравниваемых объектов. С математической точки зрения задача сводится к вычислению главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов.
Точный способ вычисления главного собственного вектора матрицы парных сравнений заключается в возведении матрицы в произвольно большие степени и делении суммы каждой строки на общую сумму элементов матрицы. Мы воспользуемся другим, более простым, способом, который дает хорошее приближение.
|
A1 |
A2 |
… |
An |
Главный собственный вектор |
Ветктор приоритетов |
A1 |
a11 |
a12 |
… |
a1n |
V1 |
P1 |
A2 |
a21 |
a22 |
… |
a2n |
V2 |
P2 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
An |
an1 |
an2 |
… |
ann |
Vn |
Pn |
Компонента главного собственного вектора вычисляется как среднее геометрическое значений в строке матрицы:
.
Компонента вектора приоритетов вычисляется как нормированное значение главного собственного вектора:
.
Приближенные значения λmax для оценки отношения согласованности можно рассчитать по следующей формуле:
,
где – сумма элементов i-го столбца матрицы;
Pj – вектор приоритетов анализируемой матрицы.
Пример построения вектора приоритетов.
Пусть стоит проблема покупки дома. Выделены следующие факторы, влияющие на решение этой проблемы: размеры дома, удобство сообщения, окрестности, возраст дома, двор, благоустроенность, общее состояние, финансовые условия покупки. Необходимо построить вектор приоритетов этих факторов. Ниже приведена матрица парных сравнений для рассматриваемых восьми факторов, заполненная суждениями эксперта по шкале Саати, на основе которых и проведены соответствующие вычисления.
общее удовлетворение домом |
размеры дома |
удобство сообщения |
окрестности |
возраст дома |
двор |
благоустроенность |
общее состояние |
финансовые условия покупки |
главный собственный вектор |
вектор приоритетов |
размеры дома |
1 |
5 |
3 |
7 |
6 |
6 |
1/3 |
1/4 |
2.053 |
0.175 |
удобство сообщения |
1/5 |
1 |
1/3 |
5 |
3 |
3 |
1/5 |
1/7 |
0.736 |
0.063 |
окрестности |
1/3 |
3 |
1 |
6 |
3 |
4 |
6 |
1/5 |
1.746 |
0.149 |
возраст дома |
1/7 |
1/5 |
1/6 |
1 |
1/3 |
1/4 |
1/7 |
1/8 |
0.227 |
0.019 |
двор |
1/6 |
1/3 |
1/3 |
3 |
1 |
1/2 |
1/5 |
1/6 |
0.418 |
0.036 |
благоустроенность |
1/6 |
1/3 |
1/4 |
4 |
2 |
1 |
1/5 |
1/6 |
0.497 |
0.042 |
общее состояние |
3 |
5 |
1/6 |
7 |
5 |
5 |
1 |
1/2 |
1.961 |
0.167 |
финансовые условия покупки |
4 |
7 |
5 |
8 |
6 |
6 |
2 |
1 |
4.105 |
0.350 |
сумма элементов столбца |
9.010 |
21.867 |
10.250 |
41.000 |
26.333 |
25.750 |
10.076 |
2.551 |
11.742 |
1.000 |
λmax=9.863, ИС=0.266, СИ=1.410 (определяем по таблице), ОС=0.189
Следует отметить, что отношение согласованности данной матрицы несколько больше рекомендованного уровня (ОС ≤ 0,1), однако для задач используемого типа его можно принять.
В общем случае уровень согласованности должен соответствовать тому риску, который сопутствует работе с несогласованными данными.
Например, при сравнении воздействия лекарств на организм необходимо иметь очень высокий уровень согласованности.
Порядок выполнения работы.
Орпеделить из таблицы проблему и список критериев для своего варианта. Номер проблемы определяет значение m. Для определения списка критериев необходимо из исходного списка указанного в таблице для данной проблемы вычеркнуть критерий со значением k.
m – последняя цифра в номере зачетки;
k – предпоследняя цифра в номере зачетки.
Если последняя цифра в номере зачетки равна нулю, то m=9, если предпоследняя цифра в номере зачетки равна нулю, то k=1.
m |
Проблема; варианты ее решения (множество альтернатив) |
Список критериев |
1 |
Покупка автомобиля; варианты:
|
|
2 |
Выбор измерительного прибора; варианты:
|
|
3 |
Оценка качества промышленной продукции; варианты:
|
|
4 |
Выбор места работы; варианты:
|
|
5 |
Отбор на должность; варианты:
|
|
6 |
Внедрение нового технологического метода (оборудования); варианты:
|
|
7 |
Выбор вида транспорта для поездки; варианты:
|
|
8 |
Выбор принтера для персонального компьютера; варианты:
|
|
9 |
Оценка качества жизни; варианты:
|
|
Построить матрицу парных сравнений для рассматриваемых восьми факторов, заполнив ее экспертными оценками по шкале Саати.
Вычислить главный собственный вектор, вектор приоритетов, λmax, ИС, ОС. Если значение ОС будет больше 0,3 скорректировать экспертные оценки.
Контрольная работа №3.
Метод анализа иерархий. Рассчет локальных приоритетов. Синтез приоритетов.
Рассмотрим проблему: «Выбор и покупка дома с заданным уровнем качества или покупка такого дома, который бы вызывал общее удовлетворение».
В качестве альтернативных вариантов рассматриваем три дома (А, Б, В) со следующими характеристиками.
Дом А – самый большой дом (из трех), хорошие окрестности, интенсивное движение транспорта, налоги на дом не велики. Двор больше, чем у домов Б и В. общее состояние не очень хорошее, нужна основательная починка и проведение малярных работ. Дом финансируется банком с высокой процентной ставкой, поэтому финансовые условия можно считать неудовлетворительными.
Дом Б – немного меньше дома А, расположен далеко от автобусных остановок. Вокруг интенсивное движение транспорта. В доме отсутствуют современные удобства, но общее состояние дома очень хорошее. Кроме того, на дом можно получить закладную с довольно низкой процентной ставкой, то есть финансовые условия вполне удовлетворительные.
Дом В – маленький и без современных удобств. Окрестности достаточно привлекательны, но налоги высокие, однако дом в хорошем состоянии и достаточно безопасен. Двор больше, чем у дома Б, однако значитльно меньше, чем у дома А. Объем восстановительно-ремонтных работ очень мал. Финансовые условия намного лучше, чем для дома А, но не так хороши, как для дома Б.
Иерархическая модель решения проблемы для рассматриваемого примера имеет следующий вид:
Для того чтобы принять обоснованное решение на выбор дома необходимо выполнить следующее.
После построения иерархической модели проблемы начинаем первый этап анализа, который состоит в исследовании степени влияния показателей свойств качества дома на общее удовлетворение домом. В формальном виде этот этап состоит в анализе влияния факторов второго уровня иерархии на цель анализа – первый уровень. Этот этап был выполнен в предыдущей лабораторной работе. Была представлена матрица парных сравнений для восьми факторов 1-го уровня, заполненная суждениями эксперта по шкале Саати. На основании этих данных были определены вектор приоритетов, λmax, ИС, ОС.
На втором этапе переходим к рассмотрению влияния факторов третьго уровня на факторы второго уровня, то есть к анализу «веса» (предпочтительности) каждого из рассматриваемых домов (А, Б, В) по отношению к каждому фактору второго уровня. Для этого необходимо сформировать и обработать восемь экспертных матриц парного сравнения. Сами матрицы и результаты их обработки в виде векторов приоритетов и мер согласованности представлены в таблице.
Размеры дома |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
Удобство сообщения |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
А |
1 |
6 |
8 |
0.754 |
А |
1 |
5 |
4 |
0.233 |
Б |
1/6 |
1 |
4 |
0.181 |
Б |
1/5 |
1 |
1/3 |
0.054 |
В |
1/8 |
1/4 |
1 |
0.065 |
В |
1/4 |
3 |
1 |
0.712 |
|
|
|
|
λмах=3.136 ИС=0.068 ОС=0.117 |
|
|
|
|
λмах=3.247 ИС=0.123 ОС=0.213 |
окрестности |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
возраст дома |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
А |
1 |
8 |
6 |
0.754 |
А |
1 |
1 |
1 |
0.333 |
Б |
1/8 |
1 |
1/4 |
0.065 |
Б |
1 |
1 |
1 |
0.333 |
В |
1/6 |
4 |
1 |
0.181 |
В |
1 |
1 |
1 |
0.333 |
|
|
|
|
λмах=3.136 ИС=0.068 ОС=0.117 |
|
|
|
|
λмах=3.000 ИС=0.000 ОС=0.000 |
двор |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
благоустроенность |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
А |
1 |
5 |
4 |
0.674 |
А |
1 |
8 |
6 |
0.747 |
Б |
1/5 |
1 |
1/3 |
0.101 |
Б |
1/8 |
1 |
1/5 |
0.060 |
В |
1/4 |
3 |
1 |
0.226 |
В |
1/6 |
5 |
1 |
0.193 |
|
|
|
|
λмах=3.086 ИС=0.043 ОС=0.074 |
|
|
|
|
λмах=3.197 ИС=0.099 ОС=0.170 |
общее состояние |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
финансовые условия покупки |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
А |
1 |
1/2 |
1/2 |
0.200 |
А |
1 |
1/7 |
1/5 |
0.072 |
Б |
2 |
1 |
1 |
0.400 |
Б |
7 |
1 |
3 |
0.649 |
В |
2 |
1 |
1 |
0.400 |
В |
5 |
1/3 |
1 |
0.279 |
|
|
|
|
λмах=3.000 ИС=0.000 ОС=0.000 |
|
|
|
|
λмах=3.065 ИС=0.032 ОС=0.056 |
Анализ векторов локальных приоритетов показывает, что дом А лучший по четырем критериям (размер дома, окрестности, двор и благоустроенность), дом Б лучший по финансовым условия, а дом В лучший по удобству сообщения.
На третьем этапе осуществляется синтез локальных приоритетов или оценка обобщенных (глобальных) приоритетов. В нашем примере речь идет о получении вектора глобальных приоритетов домов (А, Б, В,) по отношению к цели верхнего уровня – общего удовлетворения домом.
Для этого матрицу локальных приоритетов 2-го уровня, составленную по результатам анализа, представленного в приведенной выше таблицы, умножают на на вектор локальных приоритетов 1-го уровня, полученный в примере контрольной работы №2.
Матрица локальных приоритетов 2-го уровня
.
|
размеры дома |
удобство сообщения |
окрестности |
возраст дома |
двор |
благоустроенность |
общее состояние |
финансовые условия покупки |
А |
0.754 |
0.233 |
0.754 |
0.333 |
0.674 |
0.747 |
0.200 |
0.072 |
Б |
0.181 |
0.054 |
0.065 |
0.333 |
0.101 |
0.060 |
0.400 |
0.649 |
В |
0.065 |
0.712 |
0.181 |
0.333 |
0.226 |
0.193 |
0.400 |
0.279 |
Вектор локальных приоритетов 1-го уровня.
размеры дома |
0.175 |
удобство сообщения |
0.063 |
окрестности |
0.149 |
возраст дома |
0.019 |
двор |
0.036 |
благоустроенность |
0.042 |
общее состояние |
0.167 |
Финансовые условия покупки |
0.350 |
В результате получаем обобщенный (глобальный) вектор проритетов домов (А, Б, В) по отношению к конечной цели – покупке дома. Этот вектор имеет вид:
Дом |
Вектор приоритетов |
А |
0.379 |
Б |
0.351 |
В |
0.270 |
Таким образом, с учетом всех рассматриваемых факторов, предпочтение при покупке отдается дому А.