Решение задачи.
Предположим, что в системе существует локальное термодинамическое равновесие, давление и температура в каждой точке системы являются одинаковыми для каждого компонента в каждой фазе.
Расчет коэффициентов распределения и определение молярных долей жидкости и пара
После того, как будут заданы критические параметры и ацентрические факторы компонентов, начальное и конечное давления, температура смеси, необходимо рассчитать пробные значения коэффициентов распределения. Эти коэффициенты вычисляются из предположения, что газ является идеальным, а жидкость – идеальным раствором, в таком случае выполняется закон Рауля:
,
где Р – давление в паровой фазе,
Рsi – давление насыщенного пара чистого компонента при заданной температуре,
yi – молярная доля газовой фазы в смеси,
xi – молярная доля жидкой фазы в смеси.
Следовательно коэффициент распределения:
Давление насыщенного пара вычисляется по эмпирическим формулам для каждого отдельного компонента:
С помощью коэффициентов Кi, можно рассчитать молярные доли yi и xi через уравнения фазовых концентраций компонентов смеси:
, ,
где V – молярная доля паровой фазы во всей системе.
Расчет уравнения состояния
В расчете используется уравнение состояния Пенга-Робинсона, разрешаемое относительно коэффициента сверхсжимаемости . Подставляя молярный объем, выраженный через коэффициент сверхсжимаемости, в уравнение Пенга – Робинсона, получим кубическую запись этого уравнения:
или для удобства запишем: .
Для того, чтобы рассчитать коэффициенты a и b необходимо воспользоваться правилами смешения:
, ,
где Kij - коэффициент бинарного взаимодействия, который в рассматриваемой задаче равен нулю.
Метод Кардано
Основой расчета в данной работе послужил аналитический метод Кардано. В уравнении Пенга-Робинсона, приведенного к кубической форме записи относительно коэффициента сверхсжимаемости, для упрощения вводится замена , после ее подстановки исходное уравнение примет вид:
где и .
Далее для вычисления корней находим и рассматриваем три случая:
Q<0, k<0
, ,
где .
Q≥0, k>0
, где , .
Q≥0, k<0
, где , .
С помощью найденного корня вычислим коэффициент сверхсжимаемости, который в свою очередь будет использован в расчете объема фазы и коэффициентов фугитивности.
Данный алгоритм будет выполнен отдельно для каждой из двух фаз.
Расчет коэффициентов фугитивности и пересчет констант распределения
Следующим шагом вычислений является расчет коэффициентов фугитивности для жидкой и паровой фаз. После чего можно будет рассчитать фугитивность (летучесть) для каждого компонента каждой фазы.
- фугитивность (летучесть) i-го компонента в j-ом состоянии, характеризует меру способности молекул вещества перейти и одной фазы в другую. Условие равенства летучестей является условием равновесия системы.
Летучести вычисляются через коэффициенты фугитивности по формуле: , где - молярная доля i-го компонента в j-ом состоянии.
Вычислить же коэффициенты фугитивности можно следующим образом. Если уравнение состояния рассчитывается для всей смеси, то получаем два коэффициента сверхсжимаемости ZL и ZG. В итоге коэффициенты летучести рассчитываются по формулам: и .
Далее выполняется перерасчет коэффициентов распределения . Если летучести компонентов не равны, то вся процедура расчета повторяется, начиная с вычисления мольных долей компонентов и жидкой и паровой фазах и заканчивая данным шагом. То есть выполняется итерация. После данной процедуры получаем описание равновесного состояния системы через полученные мольные доли и мольные объемы для каждого компонента в жидкой и паровой фазах.