5 Линейные и квазилинейные

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка имеют такой вид:

(5.1)

Здесь - искомая функция от независимых переменных; , - коэффициенты и правая часть соответственно, которые являются функциями от тех же независимых переменных, а также искомой функции . Если и не зависят от искомой функции, то имеем линейное дифференциальное уравнение.

Задачу интегрирования уравнения (5.1) сводят к задаче интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

(5.2)

Интегрируя систему уравнений (5.2), получим ее решений, которые содержат различных произвольных постоянных .

Разрешив эти решения относительно произвольных постоянных, найдем выражения вида

(5.3)

где функции есть известные функции независимых переменных и некоторой функции , причем все эти функции различны и соотношения между ними не существует.

Теорема 1 Всякий интеграл системы (5.2) есть интеграл уравнения (5.1) и наоборот: всякий интеграл уравнения (5.1) есть интеграл системы (5.2).

Теорема 2 Уравнение (5.1) или система (5.2) допускает различных интегралов все остальные интегралы заключены в формуле

где - произвольная фукнкция.

На основании этих теорем заключаем, что всякое выражение вида

какова бы ни была функция , будет интегралом системы (5.2), а потому и уравнения (5.1).

Общий интеграл уравнения (5.1) имеет вид

(5.4)

Из всего этого следует такое правило интегрирования квазилинейного уравнения первого порядка с частными производными:

Правило Чтобы проинтегрировать уравнение (5.1), надо составить систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида (5.2) и проинтегрировать ее. Полученные соотношения разрешить относительно произвольных постоянных. Полученные функции будут интегралами уравнения (5.1), а его общий интеграл следует записать в виде (5.4).

Пример Найти общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка:

Характеристическое уравнение будет иметь вид

или

Следовательно, общий интеграл будет иметь вид

Задание 5 Найти общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Таблица выбора задач по номеру варианта и

номеру задания

задания N варианта	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	2	3.1	3.2.1	3.2.2	3.3	4	5
1	4	20	27	30	24	3	15	20	1	10	18	10
2	14	4	29	22	16	30	10	8	4	2	1	20
3	29	29	17	17	21	22	23	29	6	14	15	9
4	21	14	11	5	23	17	13	10	13	6	6	13
5	2	24	16	17	23	20	7	14	1	9	4	11
6	14	4	15	2	11	18	30	25	2	1	16	18
7	9	20	29	12	27	24	29	4	14	8	17	15
8	10	13	13	22	7	7	23	28	9	5	9	21
9	21	22	29	8	16	15	5	12	7	11	13	17
10	15	19	6	10	3	18	25	26	6	12	15	20
11	4	1	3	6	22	16	28	5	15	15	19	2
12	19	17	22	14	4	11	26	17	8	4	2	22
13	28	14	6	25	18	26	4	21	11	7	14	19
14	30	18	19	21	26	12	7	1	1	13	5	24
15	3	11	9	18	4	6	9	13	12	2	11	5
16	16	27	13	4	17	11	15	27	4	11	6	12
17	20	29	11	7	14	27	24	16	13	6	8	25
18	9	15	6	30	26	13	22	24	6	15	12	26
19	18	14	22	26	11	3	13	7	14	1	3	8
20	11	13	20	25	2	21	19	15	5	13	1	23
21	19	22	22	26	8	26	12	30	11	8	8	1
22	26	15	3	12	29	3	22	19	10	3	7	16
23	15	6	5	11	8	2	8	9	3	14	14	17
24	2	3	21	4	18	13	6	22	9	12	1	14
25	11	26	2	12	19	20	30	29	15	5	17	6
26	20	28	27	10	30	5	17	11	8	8	10	7
27	13	18	1	15	14	8	29	18	7	9	5	29
28	30	2	14	21	28	6	14	24	11	15	15	18
29	18	27	18	8	18	27	27	1	2	4	4	25
30	2	9	27	20	19	9	2	5	12	2	11	6
31	2	29	20	25	9	29	28	20	9	7	12	21
32	17	26	10	1	6	12	14	12	1	10	9	4
33	20	13	17	21	28	24	8	23	6	14	19	13
34	20	4	7	3	25	23	29	6	4	3	3	25
35	2	17	30	13	16	1	4	14	10	13	2	1
36	13	12	27	15	28	18	20	26	14	1	6	24
37	13	16	22	23	24	19	3	8	5	15	16	12
Продолжение таблицы
задания N варианта	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	2	3.1	3.2.1	3.2.2	3.3	4	5
38	20	10	23	27	4	19	27	4	7	6	10	27
39	17	2	6	12	20	7	22	28	3	5	5	7
40	29	19	14	22	28	5	4	10	6	12	13	26
41	11	19	16	17	13	14	13	22	12	9	1	10
42	7	23	17	22	19	28	11	8	8	3	7	15
43	26	25	23	27	7	30	22	29	1	14	18	5
44	22	24	13	4	23	7	17	15	13	7	8	14
45	19	24	29	14	6	22	19	1	9	10	17	18
46	11	3	16	27	19	8	7	30	3	1	4	9
47	10	28	27	4	18	15	6	17	10	13	20	21
48	10	29	28	17	14	28	28	16	2	8	11	11
49	26	26	9	18	29	18	6	21	6	4	9	3
50	20	19	6	22	8	18	10	4	11	11	7	20
51	16	21	27	22	24	23	11	29	1	1	14	15
52	18	14	28	17	4	21	4	30	5	3	16	30
53	25	5	14	16	17	7	21	8	15	5	3	16
54	25	26	26	10	16	10	4	2	2	7	15	1
55	24	17	4	10	24	8	10	27	3	2	18	20
56	30	3	14	15	9	28	28	30	9	4	2	19
57	16	13	10	26	20	10	24	9	10	8	19	28
58	30	27	28	11	18	16	4	28	12	10	8	3
59	22	25	29	16	22	17	25	11	14	6	10	17
60	2	1	3	7	4	3	10	7	3	9	12	22
61	15	23	11	7	23	5	23	23	13	11	4	8
62	14	8	16	9	4	17	30	18	5	1	11	23
63	5	3	4	27	24	11	6	25	8	14	9	6
64	12	12	17	25	3	20	29	3	9	5	14	16
65	9	5	21	18	14	15	5	21	4	13	18	16
66	20	27	13	27	5	22	9	17	7	4	6	18
67	13	20	4	14	1	21	23	6	12	3	13	2
68	23	28	27	0	25	22	24	13	1	12	1	26
69	10	28	4	19	3	2	24	16	13	14	16	19
70	17	17	2	23	30	18	8	18	8	10	5	12
71	20	8	9	4	17	13	10	8	11	2	19	4
72	11	26	19	19	6	17	7	9	13	5	8	30
73	1	24	19	17	14	4	24	19	9	7	20	27
74	28	10	28	10	16	29	30	2	12	13	3	22
75	16	30	16	20	28	1	2	23	3	6	10	28
Продолжение таблицы
задания N варианта	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	2	3.1	3.2.1	3.2.2	3.3	4	5
76	17	3	6	24	21	17	6	10	14	15	16	11
77	26	22	3	3	28	11	1	25	8	12	20	29
78	5	12	6	2	18	21	24	12	5	3	2	30
79	6	23	25	24	28	14	10	25	2	8	12	9
80	20	20	23	5	4	14	22	5	6	1	17	20
81	6	17	2	20	20	28	28	14	4	6	7	13
82	10	2	16	24	26	8	20	27	13	9	9	2
83	12	14	23	19	9	16	10	6	7	14	13	17
84	1	9	5	21	9	21	23	21	10	4	15	24
85	25	12	3	25	5	27	8	11	6	5	7	8
86	9	4	9	14	21	2	11	3	15	11	14	22
87	26	29	7	3	4	8	8	16	3	3	11	5
88	15	17	4	17	6	3	27	22	14	12	10	19
89	7	18	30	8	5	25	10	7	8	14	18	4
90	8	10	25	1	12	13	12	24	11	13	6	21
91	4	29	17	27	27	4	21	18	1	7	1	15
92	29	22	23	25	14	25	25	5	7	2	3	25
93	22	25	22	12	19	18	13	26	15	13	7	7
94	17	10	1	19	25	13	10	9	5	10	20	25
95	9	8	22	22	9	28	8	19	15	9	5	15
96	4	14	12	4	26	17	24	2	10	6	12	20
97	3	16	2	28	29	15	17	20	4	15	20	27
98	15	16	10	28	29	15	15	13	8	8	17	3
99	11	9	2	13	30	5	6	15	11	12	2	29
100	25	12	11	23	4	25	9	3	2	11	19	14