Основные свойства бесконечно малых последовательностей

▼ Теорема 2.2. Сумма и разность двух бесконечно малых последо­вательностей являются бесконечно малыми последовательностями.

Доказательство. Пусть и — бесконечно малые последо­вательности. Докажем, что последовательность бесконечно малая. Пусть - произвольное положительное число, - номер, начиная с которого , а — номер, начиная с которого

(такие номера найдутся согласно определению бесконечно малой по­следовательности 6). Возьмем . Тогда при од­новременно выполняются два неравенства: и . Значит, при всех .

Но тогда, согласно определению 6, последовательность бесконечно малая, что и требовалось доказать. ▲

С л е д с т в и е. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

▼ Теорема 2.3. Произведение двух бесконечно малых последова­тельностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть и — бесконечно малые последо­вательности. Докажем, что последовательность бесконечно ма­лая. Возьмем для первой последовательности произвольное положи­тельное число , а для последовательности в качестве возьмем 1. Согласно определению бесконечно малой последовательности: для найдется такой номер , что при ; а для найдется такой номер , что при .

Примем , тогда при будут выполнены оба неравенства.

Значит, при

Это и означает, что последовательность бесконечно малая. ▲

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых после­довательностей есть бесконечно малая последовательность.

▼ Теорема 2.4. Произведение бесконечно малой последовательно­сти на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Пусть — ограниченная, а - бесконечно малая последовательности. Докажем, что бесконечно малая по­следовательность. В силу ограниченности последовательности су­ществует такое число А, что любой элемент ее удовлетворяет неравен­ству . Поскольку последовательность бесконечно малая, для положительного числа существует такой номер N, что при всех выполняется неравенство . Значит, при

Это и означает, что последовательность бесконечно малая. ▲

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является бесконечно малой последовательностью.