.

3.10. Подпространство полного линейного метрического пространства

(Адрес файла Блок 4____)

Подпространством полного линейного метрического пространства называется любое его полное линейное подмножество.

Вернитесь к тексту

.

.

.

3.11. Подпространство нормированного пространства (Адрес файла Блок 4_)

Подпространством в нормированном пространстве называется всякое его замкнутое линейное подмножество.

Вернитесь к тексту

Нулевой элемент линейного протранства и само линейное пространство являются подпространствами этого пространства.

Примеры подпространств. В трёхмерном пространстве элементарной геометрии, рассматриваемом как линейное пространство радиусов-векторов его точек, подпространствами являются трёхмерная область, плоскость, прямая; в метрическом пространстве, образованном функциями класса и метрикой , подпространством является множество многочленов заданной степени; в нормированном пространстве подпространством является класс (можно доказать, что он является замкнутым множеством).

Все рассматривавшиеся линейные пространства, а также их подпространства 3.6, 3.7, 3.8 порождаются системами своих элементов.

3.12. Размерность пространства (Адрес файла Блок 4_)

Если в любом линейном пространстве (нормированном, евклидовом и т.д.) или его подпространстве имеется конечное число линейно независимых элементов, а любые его элементов линейно зависимы, то число называется размерностью этого пространства. Если в пространстве (или его подпространстве) можно указать произвольное сколь угодно большое (конечное) количество линейно независимых элементов, то оно бесконечномерно.

Вернитесь к тексту

Так, известное из линейной алгебры пространство векторов имеет конечную размерность . Пространство бесконечномерно.

Для того, чтобы можно было выразить каждый элемент какого-либо линейного пространства в виде линейной комбинации элементов какой-то системы элементов этого пространства, нужно подчинить выбор этой системы элементов определённым условиям. Система элементов, удовлетворяющая таким условиям, называется базисом этого пространства. У каждого пространства таких базисов может быть бесконечно много. Каждое подпространство пространства, имеющего базис, ведёт себя, как всё пространство, в котором оно содержится, поэтому также имеет базис.

Примеры базисов конечномерных пространств (3.13). Базисом трёхмерного пространства элементарной геометрии может быть система его ортов . Для множества -мерных векторов линейной алгебры базисом может служить система единичных векторов , где , то-есть, это вектор, единственный ненулевой элемент которого (единичный) стоит на -ом месте.

Любой элемент конечномерного пространства может быть разложен в линейную комбинацию элементов базиса.

Бесконечномерное пространство в общем случае может не иметь базиса. Если он всё же существует, он обязательно бесконечен. Для нас интересен случай, когда он счётен. Пространство имеет счётный базис (на самом деле – бесконечно много счётных базисов). Определения счётного базиса практически бесполезны для приложений, так как неконструктивны (не дают непосредственно пути построения такого базиса). Ими также трудно воспользоваться для отбраковки систем, не являющихся базисом.

3.14. Базис бесконечномерного пространства (Адрес файла Блок 4_)

Базисом нормированного (бесконечномерного) пространства называется такое счётное множество элементов , которое каждый элемент позволяет представить в виде , причём это представление единственно и должно пониматься по аналогии с тем, как понимается сумма ряда.

Вернитесь к тексту

В этом смысле базис – полная система элементов любого нормированного пространства, в том числе – пространств и . Система элементов нормированного пространства полна в этом пространстве, если любой элемент этого пространства может быть представлен в виде линейной комбинации элементов указанной системы либо в виде предела последовательности таких комбинаций.

Пространство, в котором можно указать конечный или счётный базаис, называется сепарабельным. Для нас важно, что пространство сепарабельно.

Примеры базисов бесконечномерных пространств (3.14). Базисом линейного пространства бесконечно дифференцируемых на отрезке функций является система (здесь - наименьший радиус сходимости функций, принадлежащих данному пространству). Базисом линейного пространства (с его среднеквадратичной метрикой) является, например, система .

В некоторых случаях в могут быть более удобными другие базисы (например, системы ортогональных полиномов).

Множество конечных линейных комбинаций элементов такого базиса плотно в . Это значит, что для любого, сколь угодно малого для произвольного элемента можно указать такую конечную линейную комбинацию , что будет выполняться условие . Иначе говоря, можно подобрать такую конечную линейную комбинацию элементов этого базиса, которая будет сколь угодно близка к указанному элементу ; в численных методах обычно для этого требуется достаточно большое .

Если из базиса какого-либо пространства вычеркнуть элемент, мы не сможем аппроксимировать с любой точностью любой элемент этого пространства. Если же к базису дописать ещё один элемент этого пространства, полученная система будет линейно зависимой, и этот элемент не добавит базису никаких новых возможностей (он итак позволял описать любой элемент пространства). В этом смысле базис может быть назван минимальной системой.

Очень важную роль в прикладной математике играют базисы, которые называют ортогональными. Примерами ортогональных базисов являются: система ортов трёхмерного пространства, знакомого нам из векторной алгебры и аналитической геометрии; система , используемая в рядах Фурье. Применение таких базисов в большом количестве случаев оказывается очень удобным, и прежде всего потому, что каждый коэффициент при орте в разложении по ортам определяется независимо. Система коэффициентов получается единственной и соответствующая линейная комбинация ортов даёт единственный элемент.

3.15. Ортогональная система элементов (Адрес файла Блок 4_)

Система элементов евклидова пространства называется ортогональной, если

при . Если =1, то система называется ортонормированной.

Вернитесь к тексту

Для ортогональной системы (3.15) это означает, что в нет элемента, который нельзя было бы разложить в линейную комбинацию её элементов, то-есть, что она полна в в обычном смысле ( в смысле определения 3.15).

Почти всегда при численном решении краевых задач явно или без специального упоминания используется понятие проекции элемента в подпространство (3.17).

Говорят, что элемент ортогонален к подпространству .

Для применения очень мощных прямых численных методов важно понятие энергетического произведения (3.18). Действительно, при формулировании этих методов требуется определять скалярное произведение , , где - положительно определённый самосопряжённый оператор. Он действует из в , - гильбертово пространство, - область определения оператора . Оператор, удовлетворяющий условию (обычно также требуют, чтобы он был ограниченным, то-есть, чтобы существовало такое вещественное , что , ), называется самосопряжённым. Положительно определённым он называется в случае, если такое, что справедливо соотношение .

3.18. Энергетическое произведение (Адрес файла Блок 4_)

Энергетическое произведение элементов , где - положительно определённый самосопряжённый оператор с областью определения , задаётся равенством = .

Вернитесь к тексту

Можно доказать, что энергетическое произведение удовлетворяет определению скалярного произведения, попросту, также является скалярным призведением. Если на множестве в качестве скалярного произведения ввести энергетическое произведение, то мы получим новое евклидово пространство, в общем случае не обязательно полное. Для того, чтобы исследовать сходимость последовательностей его элементов, на нём нужно ввести норму. Она вводится по аналогии с обычной нормой.

3.19. Энергетическая норма (Адрес файла Блок 4_)

Энергетической нормой элемента называется величина .

Вернитесь к тексту

Энергетическая норма (3.19) одновременно может служить (и является) обычной нормой и, в частности, может использоваться при определении сходимости последовательностей.

Для построения численных методов необходимо, чтобы пространство, которому принадлежат все получаемые последовательности, было замкнутым (чтобы пределы всех получаемых последовательностей принадлежали тому же пространству). Поэтому принято добавлять: «Полученное евклидово пространство пополняем пределами всех его сходящихся последовательностей», хотя это не всегда легко осуществимо в численно анализе, но часто выполняется автоматически. Полученное замыкание в энергетической норме является гильбертовым пространством и называется энергетическим пространством оператора (3.20) .

Введенные определения скалярого произведения произведения, нормы и сходимости используются при построении численных методов решения краевых задач для дифференциальны уравнений строительной механики в обыкновенных и частных производных и анализе условий сходимости последовательности решений при при увеличении длины отрезка координатной системы, используемого для аппроксимации их решения.

Энергетическое пространство оператора обозначается .

Это понятие чрезвычайно важно для численных методов, так как используемые в них системы элементов должны принадлежать энергетическому пространству дифференциального оператора левой части дифференциального уравнения задачи. Кроме того, как мы позже увидим, эти системы должны быть полны в и любые их конечные подсистемы дожны быть линейно независимыми.