7 ) Сделайте обоснование критерия устойчивости Найквиста. Опишите область его применения.

Область применения:

1. Может быть применен только к замкнутой системе

2. Критерий пригоден для систем с распределёнными параметрами и систем с запаздыванием.

3. Может быть применен к системам, у которых неизвестно характеристическое уравнение, вся необходимая информация может быть получена из экспериментов.

8) Каким образом можно оценить устойчивость системы, не решая характеристического уравнения? Приведите примеры.

По критерию Найквиста -) Пример см. выше.

9) Какой критерий устойчивости следует применять для систем с запаздыванием? Дайте необходимые пояснения.

Критерий Найквиста. Характеристическое уравнение систем с запаздыванием имеет вид: A(p)+B(p)e^-sτ = 0

Из-за наличия множителя e^-sτ левая его часть является не полиномом, а трансцендентной функцией оператора S и в отличие от обыкновенного алгебраического уравнения имеет бесконечное множество корней. Единственный критерий, не требующий решения характеристического уравнения – критерий Найквиста.

10) Дайте характеристику понятию запаса устойчивости линейной динамической системы и способам его оценки?

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать систему так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

Способы оценки: 1) Критерий Рауса

• Чтобы смоделировать запас устойчивости, необходимо, чтобы элементы первого столбца были больше какой-то фиксированной величины ε>0, называемой коэффициентом запаса устойчивости.

2) Критерий Гурвица

• Запас устойчивости определяется аналогично запасу устойчивости Рауса, только ε характеризует значение определителя Гурвица.

3) Критерий Михайлова

• Вписывается окружность ненулевого радиуса с центром в точке О (0; 0). Запас определяется радиусом этой окружности. Система неустойчива при нарушении критерия Михайлова или при пересечении кривой Михайлова с окружностью.

4) Критерий Найквиста

• Здесь критической является точка (-1; j0), следовательно, вокруг этой точки строится запретная зона, радиус которой будет представлять коэффициент запаса устойчивости.

11) Назовите все известные вам характеристики запаса устойчивости. Дайте необходимые пояснения?

1) Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой системы от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс.

2) Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом  между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

12) Какие частотные критерии запаса устойчивости вам известны. Покажите их геометрический смысл?

1) Принцип аргумента: Запишем характеристический полином в виде

D(p) = a₀ (p-p₁) (p-p₂)… (p-p_n) = 0,

Его корни: p_i = a_i + j_i = |p_i| exp(j arg(p_i)), где arg(p_i) = arctg(_i/a_i) + k, |p_i| - значения модулей корней.

Рис. 4.2.1.

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис. 4.2.1а), тогда разность p - p_i изобразится разностью векторов (рис. 4.2.1б), где p - любое число.

2)Критерий устойчивости Михайлова: Так как для устойчивой системы число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(j) составит

= n/2. (4.2.2)

Рис. 4.2.2.

Система будет устойчива, если вектор D(j) при изменении частоты от 0 до +∞ повернется на угол n/2. При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Для построения годографа выражение (4.1.6) записывается с заменой p на j в форме:

a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+ a_n-1p+a_n = D(j ) = P() + jQ(),

где P() - вещественная часть, как сумма всех членов характеристического уравнения, содержащих j в четных степенях, Q - мнимая часть выражения. Годограф начинается на положительной полуоси при D(0) = a_n, и, при изменении частоты от 0 до ∞, последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, с уходом в бесконечность в n-ом квадранте (рис. 4.2.2а).

3) Критерий устойчивости Найквиста: Этот критерий основан на связи свойства устойчивости замкнутой системы с формой АФЧХ разомкнутой устойчивой системы.

Рис. 4.2.4.

Более общая формулировка критерия Найквиста относится к системам, имеющим так называемую АФЧХ второго рода (рис. 4.2.4, годограф 1), когда W_pс(j) пересекает (неограниченное количество раз) вещественную ось левее точки Re W_pc() = -1. Будем считать положительным переход годографа через вещественную ось, если он совершается сверху вниз, и отрицательным, если он совершается снизу вверх.

13) Способы повышения устойчивости ЛДС.

Выделяют два основных способа:

• структурный способ;

• параметрический способ.

1. Структурный способ:

Рассмотрим интегрирующее звено.

- граница устойчивости.

Изменим структуру системы путем введения отрицательной обратной связи.

Структурный способ повышения устойчивости связан с таким изменением состава системы и связи между ее элементами, что новая система становится безусловно устойчивой.

2) Параметрический способ:

где

- передаточная функция объекта (неизменяемая часть системы);

- передаточная функция регулятора (изменяемая, настраиваемая част системы; - вектор параметров настройки регулятора).

Параметрический способ повышения устойчивости связан с таким изменением параметров настраиваемой части системы, при котором обеспечивается безусловная устойчивость замкнутой системы.

О бщими методами повышения запаса устойчивости, те динамической точности являются:

1. Демпфирование с подавлением высоких частот

2. Демпфирование с подавлением средних частот

3. Демпфирование с подавлением низких частот или эквивалентным поднятием высоких

4. Демпфирование с введением дополнительных фазовых сдвигов

Демпфирование с подавлением высоких частот

Применяется сдержанно, поскольку при сохранении точности существенны потери в быстродействии – режется полоса пропускания.

Реализуется:

1. C помощью апериодического звена с большой постоянной времени T0 – только для точных статических систем T0≥KT1 (подобный тип коррекции в ОУ).

2. C помощью пассивного интегрирующего звена – для систем имеющих участок ЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек вблизи частоты единичного усиления (среза) ωср, на которой наклон может составлять -40, -60, .. дБ/дек.

Демпфирование с подавлением средних частот

Применяется наиболее часто, поскольку позволяет сохранить точность САР и полосу пропускания (быстродействие). Реализуется с помощью пассивного интегро- дифференцирующего звена. Позволяет успешно корректировать ЛАЧХ с наклоном -40 дБ/дек. Однако корректирующее звено вносит дополнительные отрицательные фазовые сдвиги в НЧ области.

Демпфирование с подавлением низких частот или эквивалентным поднятием высоких

Применяется ограниченно, поскольку без восстановления коэффициента усиления в области низких частот, падает точность, а поднятие верхних частот расширяет полосу пропускания и увеличивает шумы в системе.

Реализуется с помощью пассивного дифференцирующего звена, которое не дает дополнительных отрицательных фазовых сдвигов в области низких частот и позволяет успешно корректировать ЛАЧХ с наклоном -40 дБ/дек. Компенсировать же падение коэффициента усиления ΔK=T3/T4 можно, если только наклон -40 дБ/дек после частоты среза ωср сохраняется более одной декады.

14) Какие показатели качества переходного процесса в АСР позволят судить о запасе устойчивости? Дайте необходимые пояснения.

22) Докажите, что степень устойчивости n влияет на время переходного процесса

23) Докажите, что корневой показатель колебательности m влияет на степень затухания.

Показатель (обычно ) называют степенью затухания переходного процесса.

Отношение действительной части комплексному содержанию корня к мнимой части называется корневым показателем (степенью) колебательности m.

ψ = 1-e^-2πm

m = -1/2π·ln(1-ψ)

Таблица взаимозависимости показателей инерционного звена 2го порядка

ξ	0	0.163	0.187	0.215	0.248	0.289	0.344	0.430	≥1
m	0	0.167	0.192	0.221	0.256	0.302	0.366	0.476	∞
M	∞	3.09	2.70	2.38	2.09	1.82	1.55	1.29	1
ψ	0	0.65	0.7	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95	1