- •2. Системы счисления
- •Основные понятия
- •Перевод в десятичную из других систем счисления
- •Перевод дробных чисел с нулевой целой частью.
- •Системы счисления с основанием 2n
- •Решение типовых задач
- •2.3. Найти разность чисел 635s и 4768 в восьмеричной системе счисления.
- •Ответ: 2.
- •2.14. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.
2. Системы счисления
Основные понятия
Система счисления — это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Знаки, используемые при записи чисел, называют цифрами.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Непозиционные системы счисления (например, римская нумерация I, II, III, IV, V, VI, VII и т. д.) редко используются в задачах ЕГЭ (см. 2.39, 2.40).
Для записи чисел в позиционной системе с основанием q нужно иметь алфавит из q цифр. Обычно для этого при q ≤ 10 используют q первых арабских цифр (начиная с 0), а при q > 10 к десяти арабским цифрам добавляют начальные буквы латинского алфавита.
Например:
Основание
|
Название |
Алфавит |
q = 2
|
двоичная |
01 |
q = 3
|
троичная |
0 12 |
q = 8
|
восьмеричная |
0 1234567 |
q = 10
|
десятичная |
012 3 456789 |
q = 16
|
шестнадцатеричная |
01 23456789ABCDEF |
Основание системы приписывается нижним индексом к записи числа.
Например: 1110012; 326g; AI,B6F16 (последнее число содержит дробную часть. Исключением является десятичная запись числа, для которой индекс можно не указывать: запись 23586 означает то же самое, что и 2358610.
Развернутой формой записи числа называется запись в виде:
Аq= ±(an-1qn-1 + an-2qn-2 + … + a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + … + a-mq-m ).
В этой формуле Аq - само число, q - основание системы счисления, ai – цифры данной системы счисления, n - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части числа.
Перевод в десятичную из других систем счисления
Для перевода в десятичную из других систем счисления проще всего записать исходное (недесятичное) число в развернутой форме, после чего представить все слагаемые, входящие в развернутую форму, в десятичной системе и вычислять
полученное выражение по правилам десятичной арифметики.
В качестве примеров см. решения задач 2.6, 2.7, 2.8.
Перевод десятичных чисел в другие системы счисления
Перевод целых чисел.
Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления.
Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, равное нулю.
Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
Составить число в новой системе счисления, записывая его цифры слева направо, начиная с последнего остатка.
Переведем, например, десятичное число 318 в систему счисления по основанию 4. Выполняя деление исходного числа на 4, получаем 79 и число 2 в остатке. Затем делим на 4 полученное неполное частое (79); получаем 19 и 3 в остатке. Делим 19 на 4, получаем 4 и 3 в остатке. Делим 4 на 4. получаем 1 и 0 в остатке. Наконец, делим 1 на 4. получаем 0 и 1 в остатке. Как только получено неполное частное, равное 0, процесс деления прекращаем, Описанные действия удобно оформить в виде таблицы:
Число |
Неполное частое |
Остаток |
318 : 4 = |
79 |
2 |
79 : 4 = |
19 |
3 |
19 : 4 = |
4 |
3 |
4 : 4 = |
1 |
0 |
1 : 4 = |
0 |
1 |
Осталось выписать полученные остатки, начиная с последнего: 10332. Это и есть представление десятичного числа 318 в системе счисления по основанию 4:
318= 103324
Поскольку в процессе вычислений легко сделать случайную ошибку, полезно выполнить проверку полученного результата, переведя число 103324 обратно в десятичную систему:
103324 = 1· 44 + 0 · 43 + 3· 42 + 3· 41 + 2· 4° =
= 1· 256 + 0 · 64 + 3 · 16 + 3 · 4 + 2 · 1 = 256 + 48+ 12 + 2=318
Примеры перевода десятичных целых чисел в другие системы счисления приведены также в решениях задач 2.1 и 2.5.