Общий принцип анализа
Пусть динамическая система задастся системой обыкновенных дифференциальных уравнений (5)
Этой
системе соответствует 
степеней свободы. Для выделения конкретной
фазовой траектории необходимо задание
начальных условий:
.
(9)
Условия
(9) выделяют фазовую траекторию, проходящую
через точку фазового пространства 
,
имеющую координаты 
Более
формально динамическую систему принято
определять следующим образом. Пусть
эволюционный оператор 
преобразует
некоторое начальное состояние (в момент
времени 
)
системы
в состояние системы 
в
момент времени 
.
Тогда под динамической системой
понимается такая система, эволюционный
оператор которой удовлетворяет
соотношению 
.
Другими словами, для динамической
системы время аддитивно, а эволюционный
оператор мультипликативен. При этом
эволюционные операторы, отвечающие
разным интервалам времени, коммутируют:
.
Заметим, что определение динамической
системы через эволюционный оператор
позволяет не конкретизировать вид
динамических уравнений, которыми могут
быть обыкновенные дифференциальные
уравнения, уравнения в частных производных,
интегральные уравнения и т.п. По существу,
задание динамической системы отвечает
постановке некоторой задачи Коши.
Решение
задачи Коши выделяет некоторую траекторию,
проходящую через заданную точку фазового
пространства
.
Движение фазовой точки по этой траектории
в соответствии со смыслом задачи Коши
осуществляется “вперед” по времени
стартуя от выбранной (заданной) начальной
точки. Вместе с тем возможно изучение
тех траекторий, которые начинаются в
более ранние моменты времени 
и
в момент 
входят в точку
Выделение таких участков траектории
эквивалентно решению задачи Коши для
движения “вспять” по времени. Формально
получить такое обратное движение можно,
решив прямую задачу Коши для системы
(5), в которой знак времени изменен на
противоположный: 
.
Решение таких прямой и обратной задач
Коши позволяет построить полные фазовые
траектории динамической системы в
пределах от их естественного начала до
их естественного конца. Заметим, однако,
что естественные конец и/или начало не
всегда существуют. Примером являются
замкнутые траектории, отвечающие
периодическому движению.
В случае динамической системы фазовые траектории не пересекаются. В противном случае, взяв в качестве начальной - точку пересечения, мы обнаружили бы, что точное предсказание поведения системы невозможно: из одной точки начинаются, по крайней мере, две различные траектории.
Строго говоря, последнее утверждение относится только к гладким динамическим системам, т,е, к системам, для которых правые части уравнений (6) непрерывно-дифференцируемые функции. Как известно из теории дифференциальных уравнений, именно это условие обеспечивает существование и единственность решения задачи Коши.[4]
Наряду с фазовыми траекториями принципиально важной характеристикой динамических систем являются особые точки. Напомним, что таковыми являются точки, представляющие в фазовом пространстве положения равновесия системы. Для автономной динамической системы, задаваемой уравнениями (5)
особые точки определяются, следовательно, системой уравнений
(10)
В
простейшем случае одной колебательной
степени свободы, т.е. когда фазовое
пространство двумерно, динамическая
система может иметь особые точки только
следующих четырех типов: центр, узел,
фокус, седло. В частном случае гамильтоновых
систем из числа допустимых особых почек
исключаются узел и фокус. В случае
фазового пространства большей размерности
число типов особых точек возрастает,
При этом следует тесть в виду, что в
-мерном
фазовом пространстве при 
особые
точки сочетают в себе свойства
перечисленных выше особых точек
двумерного фазового пространства.[4]