Перевод чисел из одной системы представления в другую.
Перевод чисел в десятичную систему счисления с помощью степенного ряда.
Задача.
А1 = 100100,10012, А2 = 234,58, А3 = АВС,Е16
А1
= 100100,10012
= 25
+22
+2-1
+2-4
= 36 +
36,562510;
А2 = 234,58 =
А3 = АВС,Е16 =
.
Для того, чтобы из восьмеричного счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.
Задача.
1234,7778 =
12345678 =
123456,0078 =
Обратный перевод производиться следующим образом: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой. Для правильного перевода двоичные символы должны быть сгруппированы по три, начиная с младших разрядов. Если триада старших разрядах получается неполной, то ее выравнивают путем добавления нулей.
Задача.
11001112 =
11.10012 =
110,01112 =
При переводах между двоичным и шестнадцатеричным счислениями используется группировка двоичных чисел по четверкам. При необходимости производится выравнивание группировки посредством добавления нулей.
Задача.
1234,АВ7716 = 0001 0010 0011 0100,1010 1011 0111 01112;
СЕ456716 =
0,1234 АА16 =
11001112 = 0011 10012 = 6716;
11,10012 =
110,01110012 =
При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное счисление и обратно используется как вспомогательный двоичный код числа.
Задача.
12345678=001 010 011 100 101 110 1112=0101 0011 1001 0111 01112= =5397716;
0,120348 =
120,348 =
1234,АВ7716 =
СЕ456716 =
0,1234АА = 0,0001 0010 0011 0100 1001 10012 = 0,044322528.
. Перевод смешанного числа (целого и дробного) из десятичного счисления в другое счисление.
Метод деления.
Представление десятичного числа в других системах счисления может проводиться по схеме Горнера. Допустим, что у нас есть целое число D, представленное с помощью основания системы счисления b, т.е. Dn. Процесс представления выполняется в несколько этапов по следующим правилам:
Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание счисления до тех пор, пока целая часть не станет меньше основания нового счисления.
Полученные остатки от деления, представленные символами нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.
Следовательно, на 1 этапе Dn
=
,
где
- целая часть от деления, а0 –
остаток. Этот остаток является первым
младшим разрядом в новой системе
счисления. На втором этапе деления
получаем выражение вида
=
и т.д.
Задача.
Представить по схеме Горнера десятичное число D10 = 147 в двоичном коде D2 = 10010011, в восьмеричном коде D8 =223, в шестнадцатеричном коде D16 = 93.
Проверить полученные результаты на инженерном калькуляторе.
Рассмотрим преобразование десятичных чисел в двоичные, восьмеричные или шестнадцатеричные на основе процедуры схемы Горнера, представленной в виде таблицы:
Десятичное число D10 |
Двоичное число D2 |
Вес разряда |
13 : 2 = 6 с остатком 1 |
1 |
1 |
6 : 2 = 3 с остатком 0 |
0 |
2 |
3 : 2 = 1 с остатком 1 |
1 |
4 |
1 : 2 = 0 с остатком 1 |
1 |
8 |
Десятичное число D10 |
Двоичное число D2 |
Вес разряда |
37 : 2 = 18 с остатком 1 |
1 |
1 |
18 : 2 = 9 с остатком 0 |
0 |
2 |
9 : 2 = 4 с остатком 1 |
1 |
4 |
4 : 2 = 2 с остатком 0 |
0 |
8 |
2 : 2 = 1 с остатком 0 |
0 |
16 |
1 : 2 = 0 с остатком 1 |
1 |
32 |
Десятичное число D10 |
Восьмеричное число D8 |
Вес разряда |
271 : 8 = 33 с остатком 7 |
7 |
1 |
33 : 8 = 4 с остатком 1 |
1 |
8 |
4 : 8 = 0 с остатком 4 |
4 |
64 |
Десятичное число D10 |
D16 |
Вес разряда |
27154 : 16 = 1697 с остатком 2 |
2 |
1 |
1697 : 16 = 106 с остатком 1 |
1 |
16 |
106 : 16 = 6 с остатком 10 |
А |
256 |
6 : 16 = 0 с остатком 6 |
6 |
4096 |
Десятичное число D10 |
D16 |
Вес разряда |
7589 : 16 = 474 с остатком 5 |
5 |
1 |
474 : 16 = 29 с остатком 10 |
А |
16 |
29 : 16 = 1 с остатком 13 |
D |
256 |
1 : 16 = 0 с остатком 1 |
1 |
4096 |
Задача.
Самостоятельно записать процедуру перевода D10 =156 в D8 и на основе анализа процедуры преобразования чисел из одной системы счисления (D10) в другую D2, D8, D16 разработать алгоритм этой процедуры.
Метод вычитания.
53 25 24 23 22 21 20
-32 25____ 1 1 0 1 0 1
21
-16 24____________
5____________________________
-4 22________________________________
1
-1 20_________________________________________
0
Метод умножения (Перевод дробного числа из десятичного счисления в другое счисление).
Правило: последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет получено требуемое по условию количество разрядов; полученные целые части являются разрядами числа в новой системе и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления.
Пример.
Для преобразования десятичной дроби в двоичный эквивалент используем операцию последовательного умножения на 2. Если первое произведение окажется меньше 1, то запишем в старший разряд двоичной дроби 0. Если первое произведение 1, то старшей цифрой двоичной дроби является 1. Аналогично определим вторую цифру двоичной дроби, причем на два умножается только дробная часть произведении, полученная на предыдущем шаге.
Задача.
0,6384×2=1,2768 1 0,4535×2=0,907 0
0,2768×2=0,5536 0 0,907×2=1,8140 1
0,5536×2=1,1072 1 0,8140×2=1,6280 1
0,1072×2=0,2144 0 2,6280×2=1,256 1
0,2144×2=0,042880 1,256×2=0,512 0
0,0×2=0,0 0 0,512×2=1,024 1
(0,6384)10 = (0,101000)2 0,024×2=0,048 0
0,048×2=0,096 0
0,096×2=0,182 0
(0,4535)10 = (0,011101000)2