2.1 Розв’язок рівнянь методом простої ітерації та Зейделя

Ітераційні методи розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь дозволяють одержати значення шуканих невідомих у результаті багаторазового виконання однакових кроків обчислень, які називаються послідовними наближеннями або ітераціями. На відміну від прямих методів, до числа яких відноситься метод Гауса, розв'язок можна одержати тільки із заданою кінцевою точністю, причому зі збільшенням необхідної точності зростає і кількість ітерацій.

Вихідна система лінійних алгебраїчних рівнянь при розв'язуванні методом простої ітерації має вигляд

в припущенні , що , приводиться до вигляду:

(2.1)

Алгоритм розв'язування системи рівнянь (2.1) відповідно з методом простої ітерації такі:

1. задаються початковим (ненульовим) наближенням невідомих ;

2. значення підставляються в праві частини рівнянь (2.1) і тим самим визначаються наступні наближення невідомих ;

3. підстановкою отриманих значень знаходиться наступне наближення і т.д.

Таким чином, на k-му кроці ітераційного процесу система (2.1) запишеться як

Ітераційний процес продовжується доти, поки значення x_i, отримані на двох суміжних ітераціях, не будуть відрізнятися на величину, меншу заданої похибки обчислень , тобто до виконання умови

Програма розрахунку за методом простої ітерації

Програма розрахунку за методом Зейделя

Результати розрахунків

2.2 Розв’язок рівнянь методом Гауса

В загальному випадку алгоритм методу Гауса із зворотнім ходом зводиться до розв’язування системи п лінійних алгебраїчних рівнянь вигляду

A x = b.

Алгоритм методу складається з двох етапів.

На першому етапі (прямий хід) вихідна система за п однотипних кроків перетворюється таким чином, що матриця коефіцієнтів перетвореної системи стає верхньою трикутною, тобто всі елементи, які розташовані нижче її головної діагоналі, дорівнюють нулю.

На другому етапі (зворотній хід) послідовно визначаються значення невідомих починаючи з останнього елемента x_n і до першого елемента x₁.

Програма метода Гаусса

Результати розрахунків

2.3 Розв’язок рівнянь методом Ньютона

Методу Ньютона притаманна, при відносно нескладній схемі, швидка збіжність. Метод Ньютона використовується при рішенні обширного класу нелінійних рівнянь Суть методу полягає в послідовній заміні на кожній ітерації системи нелінійних рівнянь деякою системою лінійних рівнянь, рішення якої дасть значення невідомих, найбільш близьке до рішення нелінійної системи , ніж початкове наближення.

Суть методу.

Пояснимо ідею цього методу на прикладі рішення рівняння

Розв’язок рівняння х – точка , в якій крива проходить через нуль . Задамо початкові наближення . Замінимо рівняння в околі точки лінійним рівнянням

, (2.2)

ліва частина якого представляє два перших доданка розкладеної в ряд Тейлора функції . Вирішимо лінійне рівняння (2.2) і знайдемо поправку до початкового наближення :

За нове наближення невідомого приймаємо

Аналогічно знаходимо слідуючі наближення :

Програма за методом Ньютона

Результати розрахунків

3 АНАЛІЗ ПАРАМЕТРІВ РЕЖИМУ РОБОТИ ЕЕС

3.1 Визначення параметрів усталеного режиму

Розрахунки сталих режимів складають істотну частину загального обсягу досліджень електроенергетичних систем, виконуваних як на стадії проектування, так і в процесі експлуатації цих систем. Ці розрахунки необхідні при виборі конфігурації схеми електричної системи і параметрів її елементів, аналізі стійкості й оцінюванні струмів коротких замикань, визначенні найбільш економічних режимів її роботи. Крім того, розрахунки усталених режимів мають і велике самостійне значення, тому що дозволяють відповісти на ряд практично важливих питань, а саме, що:

• даний режим існує, тобто можлива передача необхідної потужності від джерел електроенергії до споживачів;

• струми, які протікають по елементах електричної системи, не перевищують припустимих, навіть у тих випадках, коли деякі з них відключені (у післяаварійних режимах);

• напруги у вузлових точках системи не виходять за задані межі.

Для виконання розрахунку будь-якого сталого режиму необхідна інформація про схему і параметри мережі електричної системи, про споживачів (навантаження) і джерела електроенергії (потужності електростанцій). Як було показано в першому розділі, мережа електричної системи в розрахунках усталених режимів зображається схемою заміщення у вигляді лінійного електричного кола, конфігурація і параметри якого відображаються тією чи іншою матрицею узагальнених параметрів.

Вихідними даними про навантаження реальних електричних систем при їхньому проектуванні й експлуатації звичайно служать значення споживаних ними активних і реактивних потужностей (P_ні + Q_ні = S_ні), що можуть прийматися постійними (S_ні = const) або залежними від напруги в точці підключення навантаження до мережі, тобто S_ні = f(U_ні). Вихідними даними про джерела живлення, як правило, служать генеровані в систему активні потужності ( ) і абсолютні значення напруг у пунктах їх підключення: |U_Гj|= const. В ряді випадків джерела живлення можуть бути задані і постійні значення активних і реактивних потужностей ( ) аналогічно навантаженням. Крім того, одне з джерел (як правило, найбільш потужна електрична станція), що грає роль балансувального, задається комплексним значенням напруги (U_σ = const).

При зазначених вихідних даних метою розрахунку усталеного режиму електричної системи в загальному випадку є визначення потужностей і струмів у вітках схеми заміщення і комплексних значень напруг у її вузлових пунктах. З математичної точки зору задача зводиться до розв’язування системи нелінійних рівнянь через нелінійну залежність потужності від струму та напруги.

Розрахуємо падіння напруги на вітках:

Далі виконаємо розрахунок струмів у вітках:

вихідні дані:

розрахунок:

результат:

Виконаємо перевірку за законами Кіргофа.