Теорема (формула) Тейлора

Якщо функція диференційована в точці в т. х₀, то можна записати

, де – нескінченно мала вищого порядку ніж при , тобто при .

Розпишемо прирости: , те саме: – це є формула Тейлора при n=1.

Теорема. Якщо для функції f(x) існують похідні до n-того порядку в деякому околі точки х₀, то справедлива формула Тейлора: де – нескінченно мала вищого порядку ніж при , цей вираз називається ще залишковим членом формули Тейлора. Залишковий член можна виписати точніше (у формі Лагранжа): , де точка с належить інтервалу з кінцями х₀ та х.

Зауваження. Формула Лагранжа у вигляді , де с є (х₀,х) є формулою Тейлора при n=0 із залишковим членом у формі Лагранжа.

Якщо х₀=0, то формула Тейлора називається ще формулою Маклорена:

, де – нескінченно мала вищого порядку ніж при . Залишковий член можна виписати точніше , де точка с належить інтервалу з кінцями 0 та х.

Формули Тейлора, Маклорена є незамінними для наближених обчислень з наперед заданою точністю. Детальніше з ними познайомимось, вивчаючи тему «Ряди».