Вопрос №26. Докажите формулу для определения скоростей точек тела, движущегося около неподвижной точки.

Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, называют сферическим движением, так как все точки тела движутся по поверхностям сфер, общий центр которых совпадает с неподвижной точкой. Рассмотрим сначала вопрос о задании уравнения, или закона движения тела вокруг неподвижной точки.

Предположим, что с телом неизменно связана система координат Oxyz с началом в неподвижной точке О. Положение этой системы будем определять относительно неподвижной сис­темы координат Ox1y1z1 с началом в этой же точке О. В теорети­ческой механике положение подвижной системы координат от­носительно неподвижной, как правило, определяется при помощи углов Эйлера, которые вводятся следующим образом (рис. 2.47).

Рассмотрим прямую ОК пересечения плоскостей Ох1y1 и Оху. Эта прямая называется линией узлов. Выберем на линии уз­лов положительное направление так, чтобы кратчайший переход от оси Oz1 к оси Oz определялся бы в положительном направле­нии (т.е. против хода часовой стрелки), если смотреть с положи­тельного направления линии узлов.

Угол между неподвижной осью Ох1 и линией узлов ОК обозначают через ᴪ и называют углом прецессии. Угол между линией узлов OK и подвижной осью Ох обозначают через ф и

называют углом собственного вращения. Угол между плоско­стями Ох1у1 и Оху, или угол между неподвижной осью Oz1 и подвижной осью Oz, обозначают через ᶿ и называют углом ну­тации.

Посредством трех последовательных независимых пово­ротов тела: на угол ᴪ вокруг оси Oz1, затем на угол ᶿ вокруг оси ОК и, наконец, на угол ф вокруг оси Oz - можно подвижную сис­тему координат Oxyz, первоначально совмещенную с неподвиж­ной, перевести в положение, указанное на рис. 2.47.

Таким образом, положение тела по отношению к осям Ох1у1 полностью определяется тремя независимыми углами Эй­лера, т.е. тело, совершающее сферическое движение, имеет три степени свободы. Если твердое тело совершает движение вокруг непод­вижной точки, то углы Эйлера непрерывно изменяются, т.е. яв­ляются функциями времени: ᴪ = ᴪ(t), ᶿ = ᶿ (t), ф = Ф(t) (1)

Эти уравнения называются уравнениями движения твер­дого тела вокруг неподвижной точки, или законом его движения.

Вопрос № 27

Доказать формулу распределения ускорений точек твердого тела, движущегося около неподвижной точки. Формулы вращательного и осе стремительного ускорений и их направления

Для определения ускорения точки М твердого тела, дви­жущегося около неподвижной точки О, дифференцируем по вре­мени обе части формулы (12) предыдущего параграфа. В резуль­тате получим

(1) Учитывая что запишем формулу (1) так:

(2)

Таким образом, ускорение точки М в данный момент слагается из двух составляющих. Первое слагаемое называется вращательным ускорением

(3)Вектор вращательного ускорения а^вр перпендикулярен плоскости, проходящей через вектор углового ускорения и ради­ус-вектор точки М. Здесь следует напомнить, что вектор е не ле­жит на той же прямой, что и вектор ф. Поэтому вектор а^вр пер­пендикулярен не радиусу вращения h, a отрезку h1 который равен кратчайшему расстоянию от точки М до оси вектора углового ускорения. Модуль вращатель­ного ускорения (4)

Второе слагаемое в формуле (2) называ­ется осестремительным ускорением (5)

Оно направлено перпендикулярно плос­кости ф) и V, т.е. по кратчайшему расстоянию от точки Мдо мгно­венной оси вращения, причем всегда в ту сторону, откуда поворот от ф к V на наименьший угол происходит против хода часовой стрелки (рис. 2.53). Модуль осестремительного ускорения

Таким образом, формула (2) выражает следующую тео­рему. Ускорение точек твердого тела, движущегося вокруг не­подвижной точки, равно геометрической сумме вращательного и осестремителъного ускорений.

Заметим, что в отличие от вращательного движения тела вокруг неподвижной оси вращательное ускорение авр не будет вектором тангенциального ускорения точки М (по касательной направлен вектор , а значит, и вектор аос не будет век-

тором нормального ускорения точки М.

Вопрос № 28

Дайте определение сложного движения точки и основных понятий этого движения

До сих пор мы рассматривали движение точки относи­тельно одной заданной системы отсчета, которую считали непод­вижной. Однако часто при решении задач механики приходится исследовать движение точки одновременно относительно двух (или более) систем координат, при этом одна из них считается основной или условно неподвижной, а другая определенным об­разом движется относительно первой. Движение, совершаемое при этом точкой, называют составным или сложным.

П редположим, что движение точки М в пространстве рассматривается в двух движущихся по отношению к друг другу системах координат: Oxyz и O1x1y1z1зависимости от условия задачи, одну из этих систем, например, O1X1y1z1 примем за основную, услов­но неподвижную и назовем абсолют­ной системой координат (рис. 2.56). Движение, совершаемое точкой М относительно неподвижной системы координат О1Х1у1z1 называется абсолютным Траектория этого движения называется абсолют­ной траекторией, скорость - абсолютной скоростью и ускоре­ние - абсолютным ускорением. Абсолютные скорость и ускоре­ние обозначаются Va, aa

Другую систему, Oxyz, которая движется относительно системы O1X1y1Z1 назовем относительной.

Движение точки М относительно подвижной системы координат Oxyz называется относительным движением. Такое движение будет видеть Наблюдатель, связанный с подвижными осями и перемещающийся вместе с ними. Траектория точки, опи­сываемая в относительном движении, называется относительной траекторией. Понятно, что относительная траектория точки не остается неподвижной, а перемещается в пространстве вместе с подвижной системой координат.

Скорость точки М относительно подвижной системы координат называется относительной скоростью, а ускорение -относительным ускорением. Относительные скорости и ускоре­ния обозначаются так: vr и аr. Из определения относительного движения следует, что при вычислении vr и ar необходимо мысленно движение осей Oxyz остановить, т.е. рас­сматривать оси Oxyz как неподвижные и воспользоваться прави­лами и формулами кинематики точки.

Движение, совершаемое подвижной системой координат Oxyz вместе с неизменно связанным с ней пространством и движущейся в нем точкой относительно неподвижной системы O1X1y1Z1 называется переносным движением.

Скорость той точки т пространства, связанного с под­вижной системой координат, с которой в данный момент сов­падает рассматриваемая точка М, называется переносной ско­ростью, а ускорение - переносным ускорением. Переносные ско­рость и ускорение обозначают соответственно Ve и ае

Так как разные, неизменно связанные с подвижной сис­темой отсчета, точки в общем случае имеют разные траектории, то говорить о переносной траектории точки М нельзя.

Основная задача кинематики сложного движения точки состоит в том, чтобы, зная относительное движение точки и пе­реносное движение, т.е. движение подвижной системы коорди­нат, найти абсолютное движение точки и, следовательно, опреде­лить ее траекторию, скорость и ускорение в этом движении.

Вопрос № 29

Сформулируйте и докажите теорему о сложении скоростей в сложном движении точки

Рассмотрим движение точки М относительно некоторого тела, с которым неизменно связана подвижная система координат Oxyz. Эта система в свою очередь движется по отношению к ус­ловно неподвижной системе O1X1y1Z1. Положение точки М в под­вижной системе координат определяется радиус-вектором р, в неподвижной - радиус-вектором г. Положение начала G подвиж­ной системы координат относительно неподвижной определяется радиус-вектором г0 (см. рис. 2.56). Векторы r, r0 и р связаны сле­дующим соотношением:

(1)

Разложим радиус-вектор р по ортам подвижной системы коорди­нат. В результате получим

(2)

Подчеркнем еше раз, что х, у, z — координаты точки М в подвижной системе Oxyz, a i, j, к - орты этой системы, которые являются функциями времени.

Абсолютная скорость точки М получается, как обычно, дифференцированием по времени радиус-вектора r, определяемо­го формулой (2). В результате дифференцирования получим

(3)

Проанализируем теперь получившееся равенство (3). Если бы х, у и z были постоянными, мы получили бы скорость точки m, неизменно связанную с подвижной системой координат, в которой в данный момент находится рассматриваемая точка М, т.е. переносную скорость. Из определения переносной скорости при х, у, z = const следует, что Va = Ve. Но из формулы (3) в этом случае (т.е. при х, у, z = const) получим

(4)

С другой стороны, для скоростей точек в общем случае движения свободного твердого тела мы получили следующее выражение:

(5)

где Vo - абсолютная скорость начала О подвижной системы ко­ординат, ф - вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат.

Далее, если бы i,j, k r0 были постоянными, т.е. система координат Oxyz стала бы неподвижной, то по определению отно­сительной скорости Va = Vr но из формулы (4), в этом случае мы получили бы

(6)

Поэтому формула (3) с учетом (4) - (6) приводит к теореме о сложении скоростей: абсолютная скорость точки равна геомет­рической сумме переносной и относительной скоростей этой точки:

(7)

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что абсолютная скорость точки по величине и направлению равна диагонали параллелограмма, построенного на векторах перенос­ной и относительной скоростей.

Вопрос № 30

Сформулируйте и докажите теорему о сложении ускорений в сложном движении точки

Для тоге, чтобы найти абсолютное ускорение точки, про­дифференцируем равенство (3) предыдущего параграфа по вре­мени. В результате получим

(1)

Если х, у, z, постоянны, то их первые и вторые произ­водные равны нулю и первые четыре слагаемых формулы (1) да­ют ускорение точки, неизменно связанной с подвижной системой координат, т.е. переносное ускорение

(2)

С другой стороны, ускорение точки свободного твердого тела

(3)

Заметим, что формулу (3) можно получить, дифференцируя фор­мулу (5) предыдущего параграфа. Следующая группа, состоящая из трех слагаемых, представляет относительное ускорение

(4)

Наконец, чтобы выяснить смысл последней группы слагаемых в соотношении (1) вспомним, что

Тогда, заменяя в этой формуле р на Vr с компонентами х, у, z, получим

(5)

Ускорение, определяемое равенством (5). называют по­воротным, или ускорением Кориолиса:

(б)

В формуле (6) омега е = омега, здесь мы ввели новее обозначение, чтобы подчеркнуть связь со с переносным движением. Итак, имеем

(7)

Формула (7) выражает следующую теорему о сложении ускорений: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисового ускорений.

При использовании формулы (7) необходимо помнить, что переносное ускорение следует вычислять методами кинема­тики твердого тела при различных случаях его движения.

Относительное ускорение определяется в относительной системе координат по правилам кинематики точки, при этом под­вижная система координат считается неподвижной.

В частном случае поступательного переносного движе­ния омега е = 0 и, следовательно, Ас = 0. В этом случае

(8) Этот результат аналогичен теореме о сложении скоростей.

Вопрос № 31

Дайте вывод формулы ускорения Кориолиса и проведите анализ этой формулы

Остановимся несколько подробнее на ускорении Кориолиса. Выше была получена формула

(1)

Как видно из приведенной формулы, ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости твердого тела, с которым связана подвижная система отсче­та, на скорость точки относительно этой подвижной системы. Направлен вектор ас так же, как и век­тор омего е * Vr т.е. перпендикулярно плоскости проходящий через векторы омега е и Vr в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение омего е с Vr видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 2.57). Из формулы (1) следует, что мо­дуль ускорения Кориолиса определяется по следующей формуле:

(2)

Из формулы (2) видно, что ускорение Кориолиса равно нулю, когда:

Омего е = О, т.е. когда переносное движение поступательное или если переносная угловая скорость в данный момент времени обращается в нуль;

Vr= 0, т.е. в данный iwoivieHT относительная сксрость обраща­ ется в нуль;

3) т.е. векторы омего е и Vr коллинеарны. Отметим, что в тех случаях, когда ускорение Кориолиса

равно нулю, абсолютное ускорение определяется по правилу параллелограмма.

Для того, чтобы понять при­чины появления ускорения Кориоли­са, рассмотрим следующий пример. Допустим, что прямая ОА вращается вокруг точки О с постоянной угло­вой скоростью со, а вдоль этой пря­мой движется точка М с постоянной относительной скоростью Vr. Пусть положение ОА рассматриваемой прямой соответствует моменту времени i. В этот момент точка занимает положение М, ее переносная скорость Ve по величине равна (омего-ОМ и направлена перпендикулярно прямой ОА. За про­межуток времени At прямая ОА повернется на угол дл. А и займет положение ОА1. Точка на прямой к этому моменту времени зай­мет положение М1 т. е. пройдет путь, равный отрезку ММ1. Пе­реносная скорость Ve1i точки в момент t+дл.t по величине равна омего ОМ1 и направлена перпендикулярно прямой OA1 (рис. 2.58).

М ы видим, что переносная скорость точки М изменяется не только по величине, но и по направлению, и это изменение происходит как следствие относительного движения точки, т.е. перемещения ее по прямой на расстояние ММ1.

Изменение переносной скорости по величине за проме­жуток времениAt равно

Отношение этого изменения переносной скорости к про­межутку времени Дt в пределе при At—>0 дает добавочную вели­чину ускорения, вызванного относительным движением. Назовем эту величину аc1. Тогда

Направление вектора ас1 модуль которого равен омего Vr, в пределе при Аt->0 совпадает с направлением вектора переносной скорости, т.е. перпендикулярно ОА.

Рассмотрим теперь изменение относительной скорости. В нашем примере величина относительной скорости постоянна, однако в связи с движением прямой ОА относительная скорость изменяется по направлению. Найдем ту добавочную величину ускорения, которая необходима для изменения относительной скорости по направлению. Обозначим эту искомую величину через ас2. Тогда

где векторы Vrl и Vr равны по модулю, но различны по направле­нию, и угол между ними равен Да (см. рис. 2.58).

Определим модуль и направление вектора ас2. Из равно­бедренного треугольника ОВС следует

Умножая числитель и знаменатель последней формулы на Да, после некоторых очевидных преобразований получим

Вопрос № 32

Дайте определение пары вращений. Докажите какому движению эквивалентна пара вращений

Парой вращений (омега', —омега) называется совокупность двух вращений твердого тела относительно параллельных осей О1Z1 и O2Z2 с равными по величине, но противоположно направленными угловыми скоростями (рис. 2.63).

Для произвольной точки М ее абсолютная скорость

(1) или, учитывая, что имеем (2) Векторы омега и О1О2 не зависят от положения точки М и поэтому из (2) с учетом произволь­ности выбора точки М следует, что скорости всех точек тела одинаковы. Таким свойством обладает только поступательное движение. Формулу (2) можно переписать так: (3)

В екторное произведение, стоящее правой части равенства (3), называется моментом пары вращения, который так же, как и момент пары сил, является свободным вектором. Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно-поступательному движению со скоростью, равной моменту пары угловых скоростей.

Легко заметить, что совокупность N пар вращений экви­валентна одной паре, т.е. поступательному движению, а любое мгновенно-поступательное движение можно представить как мгновенную пару вращений.

Пользуясь понятием пары вращений, рассмотрим, как вектор угловой скорости можно переносить параллельно самому себе из одной точки А пространства в другую точку В.

Пусть в точке А задан вектор угловой скорости . При­соединим к произвольно выбранной точке В систему двух векто­ров , которые равны по величине вектору омега А и лежат на оси, параллельной омега А .Тогда векторы образуют пару вращений, которую можно заменить свободным вектором - мо­ментом пары . Следовательно, не изменяя движения тела, вектор угловой скорости его вращения можно переносить параллельно самому себе в любую точку тела, присоединяя при этом соответствующий момент пары вращений.

Вопрос № 33Сложение вращений твердого тела относительно параллельных осей. Рассмотреть случай, когда угловые скорости направлены в одну сторонуПредположим, что тело вращается с угловой скоростью (омега2 вокруг оси z2 системы координат O2x2y2Z2, которая вращается с угловой скоростью омега 1 вокруг оси Z1 неподвижной системы ко­ординат О1Х1У1Z1, причем оси Z1 и z2 параллельны. Скорость произвольной точки М тела (1)

Скорости Ve, Vr и VM лежат в плоскости, перпендикулярной осям Z1 и z2, а это означает, ввиду произвольности точки М, что тело движется плоско параллельно.

Н айдем в плоскости Х1О1У1 мгновенный центр вращения. Для точки Р, лежащей на прямой O1O2 Ve и Vr коллинеарны и направлены в разные стороны тогда, когда точка Р лежит между О1 и O2 (в случае, если омега1, и омега2 направлены в одну сторону) или за точкой О2 (в случае, если омега 1 и омега 2 направлены в разные стороны, при этом. Омега 2 больше омеге 1 ) (рис. 2.54). Для того, чтобы их геометриче­ская сумма была равна нулю, нужно чтобы

(2)Т.е. точка Р (мгновенный центр скоростей) делит отре­зок О1О2 внутренним или внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. В каждом случае скорость точки Р равна нулю: (3)

Вернемся теперь к равенству (1), которое перепишем с учетом того, что(4)

(5) Раскрывая скобки и используя равенство (3), получим

(6)

С другой стороны, при плоскопараллельном движении (7) Сравнивая (6) и (7), получим (8)

Таким образом, мы доказали, что совокупность двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей, не образую­щих пару вращений, эквивалентна одному вращению вокруг мгно­венной оси с угловой скоростью, равной векторной сумме угло­вых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось делит расстояние между осями составляющих вращений (внутренним или внешним образом) на части, обратно пропорциональные мо­дулям угловых скоростей, в зависимости от тоге, в одну или разные стороны направлены векторы этих скоростей.

Если векторы угловых скоростей омега 1 и омега 2 направлены в одну сторону, то если в разные, - то и

направлена в сторону большей из угловых скоростей.

Мгновенный центр скоростей, так же как и центр парал­лельных сил, не изменяет своего положения при повороте осей вращения (векторов омега 1 и омега 2) на один и тот же угол в пространст­ве, если только их точки приложения О1 и О2 фиксированы.

Вопрос № 34

Сложение вращений твердого тела относительно параллельных осей. Рассмотреть случай, когда угловые скорости направлены в одну сторону

Пусть тело вращается с угловой скоростью вокруг оси O1Z1 жестко скрепленной с другим телом, которое движется по­ступательно со скоростью V. При этом векторы и V перпенди­кулярны.

Так как поступательное движение эквивалентно паре вращений с моментом, равным скорости V, то эту скорость мож­но заменить парой угловых скоростей , расположенных в плоскости, перпендикулярной V (рис. 2.66), причем составляю­щие пары вращений по модулю равны заданной угловой скоро­сти. Для эквивалентности этой пары вращений данному поступательному движению достаточно следующего условия:

(1)

В этом случае при - плечо пары

(2;

В точке О1 векторная сумма равна нулю. Следовательно, составное движение тела в случае, когда скорость поступательного движения перпендикулярна угловой скорости вращательного движения, эквивалентно вращению с той же угловой скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной оси

заданного вращения z и отстоящей от нее на расстоянии о