Вопрос № 9 Сформулируйте и докажите правило сложения двух параллельных сил

Р ассмотрим сначала систему двух параллельных сил Р и Q, на­правленных в одну сторону (рис. 1.20). Требуется найти их равнодействую­щую. Будем считать точками приложе­ния сил Р и О точки А и В. Соединим эти точки прямой АВ и приложим к ним две равные по модулю силы S и S', на­правленные по прямой АВ в противопо­ложные стороны, т.е. систему сил S и S', эквивалентную нулю, (S, S')~0.

Сложив теперь силы Р и S и силы Q и S^’ получим их равнодействующие R1 и R2 которые уже не параллельны. Очевидно, что (Р, Q)~(R1 R2). Далее, продолжим линии действия сил R1 иR2 до их пересечения в точке О и перенесем R1 и R2 в эту точку. Теперь каждую силу R1 и R2 разложим по правилу параллелограмма на составляющие силы Р и S, Q и S',параллельные прямой АВ и силам Р и Q. Таким образом, наша система сил свелась к системе сил, приложенных к одной точке О.

Рассмотрим систему четырех сил (Р, Q, S, S') приложенных к точке О. Систему сил (S, S') как эквивалентную нулю отбросим. Оста­ются две силы Р и Q, которые приложены к одной точке, направлены в одну сторону и действуют по прямой ОС, которая параллельна линиям действия данных сил Р и Q. Следовательно, равнодействующая этих сил будет по модулю равна сумме модулей слагаемых сил, т.е.

R=P+Q, (1)

и направлена параллельно данным силам. Из подобия соответствующих треугольников имеем:

Разделив почленно одну пропорцию на другую, получим

Т аким образом, линия действия равнодействующей проходит через точ­ку С, которая находится на отрезке АВ и делит отрезок АВ внутренним образом на части, обратно пропорциональные данным силам.

Составив из пропорции (3) производные пропорции, получим

или, учитывая равенство (1) и помня, что АС+СВ=АВ, получим

Итак, система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, которая по модулю равна сумме модулей данных сил, параллельна им и направлена в ту же сторону. Линия действия равнодействующей проходит через точку С, которая делит отрезок АВ, соединяющий точки приложения данных сил, на части, обратно пропорциональные этим силам, внутренним образом.

Вопрос № 10

Сформулируйте и докажите правило сложения двух антипараллельных сил

Р ассмотрим теперь две параллельные силы Р и Q, ке равные по модулю, противоположно направленные и приложенные к твердому телу в точках А и В. Разложим большую силу Р на две парал­лельные силы так, чтобы одна из этих сил Q1 была равна по величине силе Q и прило­жена в точке ее приложения В (рис. 1.21). Тогда модуль второй силы, которую мы обозначим буквой R, и точка ее приложения С однозначно определяется соотношениями (1) и (5), которые, учиты­вая, что Q=Q1, дают

Сила R, величина и точка приложения которой определяются равенствами (6) и (7), и будет равнодействующей системы антипарал­лельных сил Р и Q. Действительно,

но следовательно,

Итак, система двух неравных по модулю антипараллелъных сил имеет равнодействующую, которая по модулю равна разности модулей этих сил, им параллельна и направлена в сторону большей силы. Линия действия равнодействующей проходит через точку, которая лежит на продолжении отрезка АВ и делит этот отрезок внешним образом на части, обратно пропорциональные силам.

Рассмотрим теперь, что произойдет с равнодействующей двух антипараллельных сил, если величина одной из этих сил будет прибли­жаться к величине другой. Из равенства (6) следует, что при Р—>Q сила R-»0. С другой стороны, из (7) можно найти, что

Это равенство показывает, что при R-> 0 и расстояние АС, т.е. точка С, где приложена равнодействующая, при Р-- Q уходит в бесконечность. Это означает, что две равные антипараллельные силы одной какой-нибудь силой, параллельной данным, заменить нельзя.

Вопрос № 11

Дайте определение пары сил и обоснование определения момента пары. Вектор-момент пары и его направление

Система двух равных по величине, антипараллелъных и не лежащих на одной прямой сил (F1 F2), называется парой сил.

Плоскость, в которой расположена пара сил, называется плос­костью действия пары. Кратчайшее расстояние d между линиями дей­ствия сил пары называется плечом пары. Совокупность нескольких пар, действующих на тело, называется системой пар.

П ара сил не имеет равнодействующей, т.е. не может быть заменена одной эквивалентной ей силой. Докажем это исходя от противного. В предыдущем параграфе было показано, что пара сил не имеет равнодействующей, параллельной силам пары. Допустим теперь, что данная пара сил (F1, F2) имеет равнодействующую R , не параллельную силам пары (рис. 1.22). Тогда, добавив к системе сил (F1, F2) уравновешивающую R*", мы получили бы систему трех сил (F1 F2, R**), находящихся в рав­новесии. Но этого не может быть, так как по теореме о трех силах линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке, что невозможно. Так как силы, составляющие пару, не находятся в равновесии, не имеют равнодействующей и не могут быть уравновешены одной силой, то пара сил занимает особое место. В механике, наряду с силой, приходится рассматривать пару сил как самостоятельный, неприводимый элемент.

Непосредственный опыт показывает, что пара сил, приложенная к твердому телу, способна привести его во вращательное движение, если этому не препятствуют наложенные на тело связи. Вращательное дейст­вие пары на тело будет тем больше, чем больше плечо пары и модули сил, образующих пару, и измеряется моментом пары.

Численное значение момента пары равно произведению величи­ны одной из сил г.ары на плечо этой пары

Условились считать положительным момент такой пары, кото­рая стремится повернуть тело против вращения часовой стрелки, и от­рицательным - момент пары, которая стремится повернуть тело по на­правлению вращения часовой стрелки (рис. 1.23). Тогда алгебраическая величина момента пары (F1 F2) может быть записана так:

Очевидно, что момент пары равен моменту одной из ее сил от­носительно точки приложения другой.

Кроме направления вращения и числового значения момента действие пары на тело, а следовательно, и ее момент зависят от того, как расположена плоскость действия пары, поэтому момент пары обладает определенным направлением в пространстве и, следовательно, есть ве­личина векторная.

Так как направление плоскости в пространстве определяется направлением прямой, перпендикулярной к этой плоскости, то вектор, изображающий момент пары, направляют перпендикулярно плоскости действия пары. Длина этого вектора берется равной величине момента пары. Сторона, в которую направлен вектор-момент пары, должна характеризовать направление вращения пары (рис. 1.24).

Итак, момент пары есть вектор, перпендикулярный к плоско­сти действия пары, направленный в ту сторону, откуда поворот тела данной парой виден происходящим против хода часовой стрелки.

Легко видеть, что момент пары численно равен площади парал­лелограмма, построенного на силах пары (рис. 1.25, а). Следовательно, вектор-момент пары равен векторному произведению векторов AB и F,

Чтобы лучше пояснить понятие момента пары сил, докажем следующую теорему.

Сумма моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары.

В самом деле, возьмем произвольный центр О и проведем из него радиус-векторы гх и г2 в точки А и. В, где приложены силы пары (F1 F2) (рис. 1.25, б). Тогда

что и требовалось доказать.

Понятие момента пары можно было бы определить как сумму моментов сил пары относительно некоторой точки. Из доказанной тео­ремы следует, что эта сумма не зависит от выбора точки и совпадает с введенным выше определением момента пары.

Вопрос № 12 Сформулируйте и докажите теорему о перемещении пары сил в плоскости её действия

Действие пары на абсолютно твердое тело не из­менится, если пару переместить в другое положение в плоскости ее действия.

Пусть на твердое тело действует пара сил (F1 F2), причем силы F1 и F2 приложены к концам плеча пары АВ (рис. 1.26, а). Переместим плечо АВ в произвольное положение А1В1 и добавим к точкам А1 и B1 две системы сил, эквивалентные нулю - (F3, F5) ~0, (F4, F6)~0. Причем величины сил F3, F4,, F5, F6 равны величинам сил данной пары. Тогда (F1 F2)~(F1, F2, F3, F4,, F5, F6). Перенесем силы F1 и F2 и силы F4 и F5 в точки пересечения их линий действия К и L. Эти силы как равные по величине попарно дадут равные по величине равнодействующие R1, и R2, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны по диагонали ромба CLDK. На основании второй аксиомы эти уравнове­шенные равнодействующие можно отбросить, но тогда (F1, F2)~(F6, F3), что и требовалось доказать.

Вопрос № 13

Сформулируйте и докажите теорему о перемещении пары сил в плоскость параллельную плоскости её действия

Действие пары на абсолютно твердое тело не из­менится, если ее перенести в любую плоскость, параллельную плоско­сти действия данной пары.

Пусть мы имеем пару сил (F1,F2) с плечом АВ (рис. 1.26, б). Перенесем плечо АВ в плоскость, параллельную плоскости действия данной пары, и присоединим к точкам А1В1 две системы сил, эквива­лентные нулю. Тогда (F1,F2) ~ (F1,F2, F3, F4, F5, F6). Далее, складывая силы F2 и F4, а также F1 и F5 и отбрасывая получившиеся взаимно урав­новешенные равнодействующие, получим:

(F1, F2) ~ (F1,F2, F3, FA, F5, F6) ~(R1,R2, F3, F6) ~ (F3, F6).

Отсюда следует, что плоскость пары действительно можно пе­реносить параллельно ей самой, не изменяя при этом оказываемого на тело действия.

Вопрос № 14

Сформулируйте и докажите теорему об изменении плеча и сил пары

Действие пары на абсолютно твердое тело не из­менится, если любым способом видоизменить модули сил и плечо пары, сохраняя постоянным их произведение, т.е. момент пары.

П усть мы имеем пару (Р1 Р2) (рис. 1.27). Разложим силу Р2 на две параллельные силы Q1 и (P1-Q1), приложенные в точках А я С. Силы (P2-Q1) и P1 имеют равно­действующую Q2, модуль которой

Q2=Pl-(P2-Ql) = Ql. В результате мы получили новую пару (Q1 Q2), плечо которой равно A С, причем величина силы Q2 и плечо АС удовле­творяют следующему соотношению:

Последнее равенство означает, что момент данной пары (P1 P2) равен моменту пары (Q1 Q2). Таким образом, теорема доказана.

Вопрос № 15

Сформулируйте и докажите теорему о сложении пар как угодно расположенных в пространстве

Система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре, вектор-момент которой равен гео­метрической сумме моментов слагаемых пар.

Рассмотрим сначала сложение двух пар, лежащих в пересекаю­щихся плоскостях П1 и П2 (рис. 1.28). Приведем эти пары к общему плечу АВ, лежащему на линии пересечения этих плоскостей. В результате по­лучим две пары (F1 F2) и (Р1 Р2).

Сложив далее силы F1 и Р1 а затем F2 и Р2 получим результи­рующую пару (R1 –R2). т-е- первая половина теоремы доказана. Найдем теперь момент этой результирующей пары:

но

поэтому окончательно получим

(1)

т.е. момент результирующей пары по величине и направлению опреде­ляется диагональю параллелограмма, построенного на вектор-моментах слагаемых пар, т.е. равен их геометрической сумме.

Если на тело действует N пар, то, складывая их, последова­тельно применяя доказанную теоре­му, мы установим, что система пар эквивалентна равнодействующей паре с вектор-моментом

(2)

Геометрически момент равнодействующей пары определяется как замыкающая сторона векторного многоугольника. Очевидно, что для равновесия этих пар необходимо и достаточно, чтобы вектор-момент этой равнодействующей был бы равен нулю, т.е.

(3)

Геометрически последнее равенство означает, что векторный много­угольник, построенный на вектор-моментах составляющих пар, замкнут.

Отсюда получаем аналитическое условие равновесия системы пар в сле­дующей форме:

Т.е. для равновесия системы пар, приложенных к твердому те­лу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций векторов-моментов всех пар системы на каждую из трех координат­ных осей равнялась нулю.

Вопрос № 16

Сформулируйте и докажите лемму о параллельном переносе силы

В сякая сила, приложенная к абсолютно твердому телу в данной точке А, эквивалентна той же силе, приложенной в любой другой точке В и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Пусть к точке А твердого тела при­ложена сила F_A. Приложим к произвольно выбранной точке В две уравновешенные силы F_B и F'_B , которые равны по величине силе F_A и лежат на линии, параллельной ей (рис. 1.30). Тогда, согласно второй аксиоме, получившаяся система трех сил FA, FB, F'B

эквивалентна данной силе, т.е. (FA, FB, F'B) ~ FA, но силы FA и F'B со­ставляют пару сил, поэтому

Эта лемма показывает, что данную силу можно переносить па­раллельно самой себе в любую точку тела, присоединив при этом соот­ветствующую пару. Пару, получающуюся при переносе силы з другую точку приложения, называют присоединенной парой. Её момент равен моменту данной силы FA относительно ее новой точки приложения В.

Вопрос № 17 Сформулируйте и докажите теорему о приведении произвольной пространственной системы сил к главному вектору и главному моменту

Пусть на твердое тело действует произвольная пространствен­ная система сил (F1 F2,....FN). Выберем произвольный центр О, назы­ваемый центром приведения, и перенесем, согласно доказанной выше лемме, все силы данной системы в этот центр. В результате получим N сил, приложенных в центре приведения, и N присоединенных пар, т.е. N вектор-моментов присоединенных пар (рис. 1.31, а). Складывая все си­лы, приложенные 2 центре О, получим одну результирующую силу

Сила R, равная геометрической сумме всех сил данной системы, называется главным вектором.

Здесь следует подчеркнуть, что вектор R есть главный вектор данной системы сил (F1 F2,....FN), а не равнодействующая этой системы, так как главный вектор не эквивалентен исходной системе сил. Главный вектор R является равнодействующей системы сил (F’l, F’2 ,....F'N), а не заданной системы (F1 F2,....FN) (рис. 1. 31, а).

Д алее на основании теоремы 4 о сложении пар складываем мо­менты присоединенных пар, помня при этом, что момент каждой при­соединенной пары равен моменту исходной силы относительно центра приведения. В результате получим

Величина Mo равная геометрической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения, называется главным моментом относительно этого центрам Таким образом, мы доказали сле­дующую теорему: произвольная пространственная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, в общем случае эквивалентна одной силе, равной главному вектору этой системы и приложенной в про­извольно выбранном центре приведения О, и главному моменту отно­сительно этого центра приведения (рис. 1.31, б). Из этой теоремы следует, что две произвольные пространствен­ные системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные мо­менты относительно одного центра приведения, эквивалентны.