Проецирование.
Все виды проекций, которые используются в компьютерной графике представляют собой комбинацию 2-х осн. типов проекции: параллельное и перспективное.
Проекции
Параллельное Перспективное
к
осоуг.
аксоном с 1 точкой с 2-мя
точками с 3 точками
свободные кабинет изометр. диметрия триметрия
Параллельная проекция.
При п. п. точки, предмета проецируются на пов-ть пучком лучей параллельно заданному направлению.
А А'
l
В В'
С С'
Направл. проекции перпендикулярно пл-ти проекции, а сама пл-ть проекции явл-ся одной из коорд. пл-тей или парал-на ей.
ОУZ 0 0 0 х 0
ОХ 0 1 0 у = у
0 0 1 z z
аксонометрич. проекции:
изометрия – в пл-ти проекции углы между каждой парой осей равны
2) диметрия – пл-ти проекции равны между собой, 2 угла между осями.
3) триметрия – в пл-ти проекции все 3 угла между осями различны.
Выполн. комбин. поворотов с последующим проецированием.
(х, у) z = 0
в относ у соs в 0 sin в 0
0 1 0 0
а относ х sin в 0 соs в 0
0 0 0 0
1 0 0 0 соs в sin в sin а -sin в соs а 0
0 соs а sin а 0 = 0 соs а sin а 0
0 - sin а соs а 0 sin в -sin а соs в соs а соs в 0
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 соs в sin в sin а 0 0
0 1 0 0 = 0 соs а 0 0
0 0 0 0 sin в -sin а соs в 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
Диметрия
sin² а
s
in²
в =
1 - sin² а
И
зометрия
1 1
s
in
а = sin в =
3 2
Косоугольная проекция
Проект. прямые сост. угол с плоскостью проекции, отличный от 90. Своб. угол между лучами проекции и ее пл-тью = 45.
Кабинетная – частный случай свободной проекц., масштаб по 3 оси уменьшен в 2 раза.
ХУ
1 0 0 0
0 1 0 0
Рх Ру 0 0
0 0 0 1
Св. пр. Рх = соs 45
Ру = sin 45
К. пр. Рх = ½ соs 45
Ру = ½ sin 45
В общем случае коорд. точек изображения проекц. опред. решением уравнения прямой, которая проходит через некоторую точку предм. А., параллельно направл. проекция совм. реш. ур. прямой и ур-е пов-ти проекции.
(
ХА
- ХА')
/ Vх
= (УА
- УА')
/ Vу
= (ZА
- ZА')
/ Vz
F(ХА', УА', ZА') = Ø
ХА, УА, ZА - координаты точки предмета
ХА', УА', ZА' - координаты точки изображения
F – ур-е пов-ти проекции
Vх,у, z – в-р направл. проектирования.
Перспективная проекция (центральная проекция)
S
При персп. проекции все проецирующие лучи проходят через опред. точки пр-ва, которая называется центром проекции.
В
общем случае коорд. вычисляются путем
совм. реш. ур-я прямой проходящей через
центр проекции и некот. предм. точку и
ур-я пов-ти проекции.
(ХА - ХА') / (ХА - ХS) = (УА - УА') / (УА - УS) = (ZА - ZА') / (ZА - ZS)
φ(ХА', УА', ZА') = Ø
Экранные системы координат
Оси параллельны осям системы координат предмета.
Х
А'
х0
1 Ха
УА' = у0 + m 1 УА
ZА' z0 0 ZА
х0, у0, z0 – точка на экране, где располагается нач. об. системы координат.
m – коэффициент масштабирования.
Изометрия
ХА'
х0
1 √3/2 0 √3/2 Ха
· УА' = у0 + m 1 -½ 1 -½ УА
ZА' z0 0 1/√3 1/√3 1/√3 ZА
Диометрия
ХА' х0 1 1 0 -√2/4 Ха
УА' = у0 + m 1 0 1 √2/4 УА
ZА' z0 0 √2/4 √2/4 √2/3 ZА