Распределение Максвелла:

М олекулы газа вследствие теплового движения испытывают многочисленные соударения друг с другом. При каждом соударении скорости молекул изменяются как по величине, так и по направлению. В результате в сосуде, содержащем большое число молекул, устанавливается некоторое статистическое распределение молекул по скоростям, зависящее от абсолютной температуры Т. При этом все направления векторов скоростей молекул оказываются равноправными (равновероятными), а величины скоростей подчиняются определенной закономерности. Распределение молекул газа по величине скоростей называется распределением Максвелла.

Если одновременно измерить скорости большого числа N молекул газа и выделить некоторый малый интервал скоростей от v до v+ v, то в выделенный интервал  v попадает некоторое число  N молекул. На графике удобно изображать зависимость величины   от скорости v. При достаточно большом числе N эта зависимость изображается плавной кривой, имеющей максимум при   (наиболее вероятная скорость). Здесь m - масса молекулы,  - постоянная Больцмана.

Характерным параметром распределения Максвелла является так называемая среднеквадратичная скорость   означает среднее значение квадрата скорости. В молекулярной физике доказывается, что

где  - молярная масса.

Из выражения для среднеквадратичной скорости следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа есть

Распределение Максвелла является одной из важнейших статистических закономерностей молекулярной физики.

Формулы распределения максвелла :

Распределение по вектору скорости

Учитывая, что плотность распределения по скоростям   пропорциональна плотности распределения по импульсам:

и используя   мы получим:

,

что является распределением Максвелла по скоростям. Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом элементе   около скорости  равна

Распределение по абсолютной величине импульса

Интегрируя, мы можем найти распределение по абсолютной величине импульса

Распределение по энергии

Наконец, используя соотношения   и  , мы получаем распределение по кинетической энергии:

Распределение по проекции скорости

Распределение Максвелла для вектора скорости   — является произведением распределений для каждого из трех направлений:

,

где распределение по одному направлению:

Это распределение имеет форму нормального распределения. Как и следует ожидать для покоящегося газа, средняя скорость в любом направлении равна нулю.

Распределение по модулю скоростей

Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как:

поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все   распределены нормально, то   будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы. Если   — функция плотности вероятности для модуля скорости, то:

,

где

таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна

Характерная скорость

Хотя Уравнение (11) дает распределение скоростей, или, другими словами, долю молекул, имеющих специфическую скорость, часто более интересны другие величины, такие как средние скорости частиц. В следующих подразделах мы определим и получим наиболее вероятную скорость, среднюю скорость и среднеквадратичную скорость.

Наиболее вероятная скорость

наиболее вероятная скорость,   — вероятность обладания которой любой молекулой системы максимальна, и которая соответствует максимальному значению  . Чтобы найти её, необходимо вычислить  , приравнять её нулю и решить относительно  :

Средняя скорость

Подставляя   и интегрируя, мы получим

Среднеквадратичная скорость

Подставляя   и интегрируя, мы получим