Вопросы, 1 семестр
1 Определители(определение и свойства)
2 Правило Крамера
3 Ранг матрицы, теорема о базисном миноре
и теорема Кронекера-Капели
4 Обратная матрица
5 Деление отрезка в заданном отношении
6 Скалярное произведение векторов
7 Векторное произведение векторов
8 Смешанное произведение векторов
9 Прямая на плоскости, пучок, общее уравнение,
в отрезках и с угловым коэфф.
10 Прямая на плоскости, каноническое уравнение,
параметрическая форма и через 2 точки
11 Нормальное уравнение прямой на плоскости
12 Угол между прямыми на плоскости
13 Расстояние от точки до прямой и между
параллельными прямыми на плоскости
14 Плоскость в R3
15 Взаимное расположение двух плоскостей в R3
16 Прямая в пространстве
17 Взаимное расположение двух прямых в R3
18 Взаимное расположение прямой и плоскости в R3
19 Эллипс
20 Гипербола
21 Парабола
22 ЭГП в полярных координатах
23 Предел последовательности,
единственность и ограниченность
24 Арифм. свойства предела последовательности
25 Число e
26 Предел функции, арифм. свойства
27 Первый замечательный предел
28 Непрерывность и разрывы функций
29 Свойства функций непрерывных на отрезке
30 Производная суммы и произведения
31 Производная частного двух функций
32 Производная степенной функций.
33 Производная показательной функции и логарифмической
34 Производные тригонометрических функций
35 Производные обратных тригонометрических функций
36 Теорема Роля
37 Теоремы Лагранжа и Коши
38 Теорема о монотонности, достаточные условия экстремума,
39 Выпуклость и перегиб, достаточные условия
40 Асимптоты функции
41 Необходимые условия дифференцируемости фмп
42 Дифференцирование сложных фмп
43 Повторное дифференцирование фмп
44 Производная по направлению и градиент
45 Касательная плоскость и нормаль к поверхности в R3
46 Экстремум функции двух переменных
Определители, линейные системы и матрицы
Определение det ...
Свойства det
1) Линейность: det−лин. фун. любой строки;
2) Антисимметрия: при перестановке двух строк det меняет знак;
3) Нормировка: det(E)=1;
4) если одна из строк = лин. комб. других, то det=0, обратное тоже верно;
5) det не меняется если к одной из строк + лин. комб. других;
6) det( AT)=det(A), т.о. указанные свойства имеют место и для столбцов: det−лин. фун. столбца и т. д.
Вычисление det
1) алгебр. доп. элем. det
2) Разложение det по строке (столбцу):
3) Алгебр. дополнения соседних строк и столбцов:
Правило Крамера
Пусть –кв. сист. n-го порядка и ∆=det(A)≠0, тогда сист. имеет ед. решение, которое можно получить по формулам Крамера: , , где получен из ∆ замещением k–го столбца свободным B.
Ранг матрицы и базисный минор
Рангом матр. A наз. число r(A)–наиб. порядок ≠0 минора; такой минор наз. базисным; строки и столбцы матр. входящие в этот минор тоже наз. базисными;
Теорема о базисном миноре. Каждая строка матрицы = лин. комбинации базисных строк, тоже самое верно и для столбцов;
Линейные системы общего вида
1 Определения. Лин. сист. mn, решение, совместность, несовместность, определенность и неопределенность
2 Теорема К/К . Лин. mn сист. совместна r(A)=r(A), при этом, если
r(A)=n, то сист. определенная, иначе неопределенная.
3 Метод базисного минора
4 Однородные системы
Операции над матрицами
Определения
1 Сумма матриц
2 Произведение числа на матрицу
3 Произведение матриц
Свойства операций над матрицами
1 ,
2 , ,
3 ,
4
5 В общем случае AB≠BA, пример
Обратная матрица
1 Свойство единичной матр. :
2 Определение. наз. обратной к если ,
3 Единственность: если B тоже обратная, то B=B(AB)=(BA)B=B
4 Теорема. Обратная det(A)≠0, при этом
Решение системы с помощью обратной матрицы
–квадратная сист. и det(A)≠0 X=A–1B
Метод Гаусса
Приведение сист. к треугольной форме элем. преобразованиями над строками расширенной матрицы:
1 перестановка двух строк,
2 умножение строки на число 0,
3 прибавление к строке любой другой.
Векторная алгебра
Основ. понятия. Вектор, его длина, нулевой вектор, равенство векторов, −сумма векторов, −произведение числа на вектор.
Основ. группа алгебр. законов:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Базис и координаты. Векторы в простр. обладают важным свойством: три вектора такие что однозначно представляется в виде лин. комб. . Такая тройка векторов наз. аффинным базисом, и в качестве такого базиса может выступать тройка некомпл. векторов.
Числа наз. коорд. вектора в базисе . Мы будем иметь дело только с ОНБ, его векторы единичные и попарно , это векторы .
На пл. пара не параллельных векторов образует аффинный базис.
Теорема(о роли координат)
1)
2)
3)
коорд. наследуют алгебр. структуру векторов и при заданном базисе вектор неотличим от коорд.:
Радиус вектор точки. Сист. коорд.: – аффинная; – прямоугольная; коорд. т. = коорд. радиуса вектора т. в заданной системе: пишут если вектор
Пример: т. пересечения медиан треугольника :
Деление отрезка в заданном отношении. т. M делит отрезок в отношении если .
Скалярное произведение
Определение
Свойства
Вычисления в ОНБ
1) скалярное произведение;
2) вектор;
3) дл. вектора;
4) угол между векторами;
5) расстояние между точками и ;
6) проекция на ;
7) орт вектора;
Векторное произведение
Опр. , , тройка правая
Св. 1) , 2) , 3) , 4)
Примеры:
сила Лоренца ,
лин. скорость ,
момент силы,
момент количества движения,
теорема синусов (доказательство)
Вычисление в ОНБ, формальный det
Пл. треугольника.
Двойное векторное произведение
Смешанное произведение
Опр. = ориентированный объем клетки.
Свойства: 1) цикл. перест., 2) антисим. и 3) условие компланарности
Выч. в ОНБ
Пл. треугольника
Аналитическая геометрия
Прямая (L) в R2
1 Определение L через норм. вектор
2 Пучок, общее, в отрезках, с угловым коэфф.
3 Определение L через направляющий вектор
4 Канонич. ур., парам. форма , через 2 точки
5 Нормальное ур. L
6 Угол между двумя прямыми
7 Расстояние от точки до L
8 Взаимное расположение двух прямых в r2
9 Расстояние между параллельными прямыми
Плоскость в R3
1 Определение пл. через норм. вектор
2 Различные ур. пл.: связка, общее, в отрезках, норм.
3 Пл. через 3 точки
4 Две пл. в R3 угол, и параллельность
5 Расстояние от точки до пл.
6 Расстояние между параллельными пл.
Прямая (L) в R3
1 Определение L через направляющий вектор
2 Различные формы L: канонич., общая, парам., через две точки
3 Переход от общей формы к канонич. (1019)
4 Расстояние от точки до L (1063)
5 Две прямые (1026, 1083)
6 Прямая и пл. (1040)
Кривые 2го порядка на R2
1 Эллипс, канонич. ур., форма, директрисы и эксцентр.
2 Гипербола, канонич. ур., форма, ас., директрисы и эксцентр.
3 Парабола, канонич. ур. и форма
4 Эгп в полярных координатах
***** 5 Повороты сист. коорд. на пл.
****** Начальные сведения по лин. алгебре
1 Определение. Множ. L наз. линейным пространством если для всех элем. L определены операции сложения элем. и умножения на числа и эти операции подчиняются основ. группе алгебр. законов. В каждом ЛП определена лин. комб. элементов.
Пр. Rn множ. всех упорядоченных наборов из n действительных чисел.
2 Лин. завис. и незав.
1) Опр. лин. завис. и незав. набора элем.
2) Т. Набор элем. лин. зависим один из элем. = лин. комб. других
Пр.: коллин. и комплан.
3 Базис и коорд.
1) Опр. Лин. незав. набор e1 , e2 , ... en элем. L наз. базисом L , если
XL = лин. комб. элем. базиса, X = x1 e1 +...+ xn en , при этом равенство наз. разл. X по базису e1 , e2 , ... en , а числа xi наз. коорд. X в базисе.
2) Т. Разл. X по базису единственно.
3) Роль коорд. При сложении элем. их коорд. складываются, а при умножении на число коорд. умножаются на это число.
4 Размерность L
1) ЛП наз. n-мерным, если оно содержит n лин. незав. элем., а n+1 элем. лин. завис., n наз. размерностью L , n=dim(L).
2) Если dim(L)=n, то n лин. незав. элем. образуют базис L.
3) Если базис L состоит из n элем., то dim(L)=n.
5 Преобразование коорд.
Введение в анализ
Предел послед.
1 Определения. Последовательность, ограниченность, предел
Послед. наз. ограниченной если существует число M:
2 Единственность предела:
3 Огранич. сх. послед.
4 Арифм. св. сх. послед.
1) , 2) , 3)
5 Принцип Коши сх.
6 Монотонные и огранич. последовательности.
7 Число
8 Т. о сжатой послед.:
Предел функции
1 Опр. Пусть задана на E и x0 предельная т. E,
если такое что , для которых и , выполн. неравенство , иногда пишут так .
Равносильное опр. по Гейне с помощью послед.:
послед.
2. Арифм. свойства. Пусть
1) , 2) , 3)
3. Т. о трех фун. ,
4. Первый зам. предел
5. Второй зам. предел
6. БМ и ББ величины, свойства и сравнение
Непр. фун. в точке
1 Опр. f непр. в т. если
2 Арифм. свойства непр., сложные функции
4 Элементарные функции
5 Замечательные пределы: , , ,
их использование при вычислении пределов.
6 Точки разрыва
Свойства фун. непр. на отрезке
1 Нули и промежуточные значения
2 Огранич. и достижимость граней (наибольшее и наименьшее знач.)
Производная
1 Опр. и связь с непр.
Пр.
Если дифф. в т. x , то она непр. в этой т.
2 Правила дифф.
линейность производной
3 Производная сложной фун.
4 Производная обратной фун
5 Таблица производных
6 Логарифмическое дифф
7 Задача о касательной
8 Производная неявной фун.
9 Производная парам. фун.
Дифференциал
Определение Пусть , наз. дифф. в т. x0 , если ее приращение в этой т. имеет вид , гл. лин. часть наз. дифференциалом: .
Теорема дифф. в т. x0 имеет производную в т. x0 , при этом
Т.о. , геометрически =приращению ординаты вдоль касат. в т . Частный случай приводит к равенству : дифф. независимой переменной =ее приращению и тогда .
Свойства d (правила выч.)
1) = 2) = 3) =
Инвариантность формы d.
Пусть , тогда , если и ,то d сохраняет форму при замене переменной.
Приложение основано на соотношении .
Способ получения приближенных формул
Пр.
Пр.
Производные и дифференциалы высших порядков
Повторное дифф. явных, неявных и парам. фун.
Пр.
Пусть , по опр. .
при n ≥ 2 не сохраняет форму: если , и , то
=
= в общем случае. Однако, если замена лин., , то
и форма сохраняется .
Теоремы о дифф. фун.
Определение. наз т. макс. если из некоторой окр. т. , наз. макс. значением. Сходным образом вводится т. мин. и мин. значение. Экстремум означает мин. или макс.
1.Т. о гл. экстр. Ферма диф. в т. x0 и имеет там экстр.
2.Т. Ролля непр. на , диф. на и
3.Т. Лагранжа непр. на и диф. на
4.Т. Коши и g непр. на , диф. на ,
5.Т. Лопиталя. Пусть и g диф. на , ( ), ,
6. Формула Тейлора. Пусть , непр. на , на и :
Исследование функции с помощью производной
Монотонность и экстр.
1. Опр. Возраст. и убыв. фун. на интервале, макс. и мин., стац. точки.
Замеч. по т. Ферма т. гладкого экстр. есть стац. точка, обратное не верно
(куб. парабола);
2. Теорема о монот. Пусть дифф. на ,
(1) на
(2) на
Зам. f строго и сплошь на промежутке.
3. Достаточные условия экстр.
1-е. Пусть дифф. в окр. стац. т. x0 , и меняет знак при переходе через x0 , тогда x0 т. экстр.
Замеч. на самом деле может не существовать.
2-е. Пусть дифф. в окр. стац. т. x0 , и , тогда x0 т. экстр., max при и min при .
Пр.
3-е. Пусть n ≥ 2 , , а .
Если n четное, то x0 т. экстр., если n нечетное, то в т. x0 нет экстр..
Док. из ф. Тейлора , если n чет., то
не меняет знак при переходе через x0 , и там есть экстр., если n нечет., то меняет знак, и там экстр. нет, все!
Примеры нет экстр., , есть экстр.
4. Наибольшее и наименьшее значения.
1)
2)
3)
Выпуклость и перегиб
1. Опр. Пусть фун. непр. на ,
она наз. вып. вниз на если
и она наз. вып. вверх на если .
x0 наз. т. перегиба если при переходе через эту т. фун. меняет направление вып., при этом удобно предполагать наличие конечной или бесконечной производной в самой т. x0 .
2. Выпуклость и производная. Пусть дифф. на ,
1) вып. вниз на на ;
2) вып. вверх на на ;
3. Дост. условия вып. Пусть дважды дифф. на ,
1) если на , то вып. вниз на
2) если на , то вып. вверх на
док. формула Тейлора 1-го порядка с остатком в форме Лагранжа.
4. Дост. условие перегиба
Пусть меняет знак при переходе через т. x0 , а в самой т. x0 непр. и имеет там конечную или бесконечную производную , тогда x0 т. перегиба
Асимптоты
Различают 3 вида ас.: верт., накл. и гориз.
1) L: верт. ас. или
2) L: накл. ас. на
3) L: гориз. ас. на
Схема исследования функции
1) ООФ
2) Пересечение с координатными прямыми
3) Асимптоты
4) Монотонность и экстремум
5) Выпуклость и перегиб
6) График
Пр.:
ФМП
Невырожденные поверх. 2-го порядка
эллипсоид 1)
гиперболоиды 2) 3)
конус 4)
параболоиды 5) 6)
цилиндры 7) 8) 9)
Понятие фмп. Обозначим через множ. всех упорядоченных пар действительных чисел; так что элемент из имеет вид , .
Пусть , фун. двух переменных наз. правило , которое ставит в соответствие опред. число , при этом наз. обл. опр. .
Пр. ; ;
Подобным образом опр. фун. трех переменных
Пр. ; ;
Предел и непрерывность.
Открытым кругом в с центром в т. и радиуса r наз. множ. всех для которых , такой круг наз. окр. т. радиуса r.
Пусть , наз. предельной т. если ее окр. содержит т. из отличную от .
Число наз. пределом в т. : если >0
: как только и .
Пр. , , ,
Фун. f наз. непр. в т. если она опр. в т. и
Частные производные и дифференциал
1 ЧП. Пусть фун. 2-х переменных, частной производной (1-го порядка) f в т. по x наз. число если предел , ЧП обозначают так , если , сходным образом вводится ЧП .
ЧП выч. по обычным правилам и формулам дифф., надо лишь учитывать что при выч. ЧП по x величина y=const, и наоборот x=const когда берется ЧП по y.
2 Дифференциал. Пусть , она наз. дифф. в т. если ее приращение ,
гл. часть лин. относительно и наз. дифференциалом и обозначается . Пр. (вычислить!)
Теорема 1(необх. условие дифф.)
дифф. в т. непр. в т. и , .
Пр.
Теорема 2(дост. условие дифф.)
и непр. в т. диф. в т.
Свойства d
Приложение d
основано на соотношении :
Пр.
3 Дифференцирование сложных функций
(A) Пусть 1) дифф. в т.
2) дифф. в т. t0
3)
4)
h дифф. в т. t 0 и
(B) Пусть 1) дифф. в т.
2) дифф. в т.
3)
4)
h дифф. в т. и ,
Инвариантность формы дифференциала.
Пр.
4 Повторное дифференцирование.
Опред. ЧП 2-го порядка наз. ЧП от ЧП 1-го порядка.
Пр. , оператор Лапласа u=0.
Пусть , тогда можно образовать 4 ЧП 2го порядка:
Теорема там, где они непрерывные
док. берем
= ,
дважды применяем формулу Лагранжа и переходим к пределу .
если ЧП 2го порядка фун. n переменных непр., то их всего n(n+1)/2
Опред. Пусть , =