Задача 6

Прибор состоит из n узлов. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для каждого узла одинакова и равна p. Выходи из строя узлов независим друг от друга. Найти вероятность того, что за указанный срок откажут два узла, не менее двух узлов.

Дано: n=5, p=0,9

Решение: Условие задачи соответствует схеме независимых испытаний Бернулли. Испытание – работа узла. Число испытаний равно 5. Каждое испытание имеет два взаимоисключающих исхода: узел работает безотказно в течение гарантийного срока (Вероятность этого исхода равна q = p = 0,9); Узел отказал в течение гарантийного срока (вероятность этого исхода равна p=1-q=1-0,9=0,1).

Вычисления проводим по формуле Бернулли

1. А – событие – среди работающих =5 узлов откажут 2

2. В – событие – среди работающих n=5 узлов откажут вместе не менее 2.

Найдем сначала вероятность противоположного события :

среди работающих n=5 узлов откажут вместе менее 2:

Тогда .

Ответ: вероятность того, что за указанный срок из 5 узлов откажут два узла равна 0.0729; вероятность того, что за указанный срок из 5 узлов откажут не менее двух узлов равна 0,0814.

Задача 7

Бригада рабочих за смену изготавливает n деталей.Вероятность того, что каждая изготовленная деталь высшего качества равна p. Какова вероятность того, что за смену изготовлено m деталей высшего качества.

Дано: n=245, p=0,25; m=70;

Решение:

Условие задачи соответствует схеме независимых испытаний. Испытание – изготовление детали. Число испытаний n=245. Каждое испытание имеет два взаимоисключающих исхода: изготовленная деталь высшего качества (вероятность этого исхода равна р=0,25); изготовленная деталь не высшего качества (вероятность этого исхода равна q=1-p=1-0,25=0,75).

Так как число испытаний велико, то применим локальную теорему Муавра-Лапласа:

,функция - четная.

Значение функции находим из таблицы.

Событие А – из 245 изготовленных за смену деталей 70 высшего качетсва.

Вероятность события А – это

Вычислим предварительно:

Таким образом,

Ответ: Вероятность того что из 245 изготовленных за смену деталей 70 окажется высшего качества равна 0,0256.

Задача 8

Вычислительное устройство состоит из n независимо работающих элементов. Вероятность выхода из строя каждого элемента одинакова и равна р. Составить закон распределения случайной величины ξ – числа отказавших элементов. Построить график функции распределения F(x). Найти M(ξ) и D(ξ).

Дано: n=4, p=0,2;

Решение

Условие задачи соответствует схеме независимых испытаний Бернулли. Испытание – работа элемента. Каждое испытание имеет два взаимоисключающих исхода: событие А – элемент вышел из строя (Вероятность этого исхода равна p( )=p=0,2), событие - элемент не вышел из строя (Вероятност этого ихода равна p( )=q=1-p=1-0,2=0,8).

Вероятность наступления события Аk раз в n независимых испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: .

Составим закон распределения случайной величины ξ – числа отказавших элементов:

Проверка

, следовательно, закон распределения составлен верно.

Сведем полученные результаты в таблицу:

ξ	0	1	2	3	4
p	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

Определим числовые характеристики распределения:

Математическое ожидание Mξи дисперсию Dξ

Определим функцию распределения F(x):

Или

График функции распределения F(x) имеет вид:

Задача 9

Задана плотность распределения вероятностей f(x). Определить коэффициент a, функцию распределения F(x), M(ξ), D(ξ), вероятность попадания случайной величины ξ в интервал (α,β).Построить графики функций f(x),F(x).

Α=2, β=2,5,

1. Найдем коэффициент а из условия

Определим

При

При

При

Таким образом,

3. Графики функций f(x),F(x):

4. Определим M(ξ),D(ξ)

5. 

Задача 10

Завод выпускает детали, стандартная длина которых а мм. Рассмотрим длину детали как случайную величину , распределенную по нормальному закону со средним квадратическим отклонением и математическим ожиданием а, определить: 1) вероятность того, что длина наудачу выбранной детали будет больше и меньше чем ; 2) Вероятность отклонения длины детали от стандартного размера больше чем мм.

Дано: ; ;

Решение:

Для нормально распределенной случайной величины с параметрами a, вероятность попадания случайной величины в интервал определяется выражением:

1. –интегральная функция Лапласа. Функция - нечетная. Значение функции выбирается из таблицы.

Вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания aболее чем на определяется выражением:

2. 

1) Подставляя в выражение (1) соответствующие значения, определим вероятность того, что длина наудачу выбранной детали будет больше 60 и меньше 70 мм:

2) Подставляя в выражение (1) соответствующие значения, определим вероятность того, что длина наудачу выбранной детали от стандартного размера 64 мм более чем 5 мм:

Ответ: вероятность того, что длина наудачу выбранной детали будет больше 60 мм и меньше 70 мм равна 0,46483; вероятность отклонения длины детали от стандартного размера 64 мм более чем 5 мм равна 0,5287.