10. Из типовых функций времени наиболее часто используются две: единичная импульсная функция и единичная ступенчатая функция.

Единичной импульсной функцией (дельта-функцией, -функцией) называется функция, равная нулю всюду, кроме начала координат, принимающая бесконечное значение в начале координат и притом так, что интеграл от нее по любому интервалу, содержащему начало координат, равен единице: (t) = 0, t  0; (0) = ;

Функцию, обладающую такими свойствами, можно получить, например, как предел положительного импульса, имеющего единичную площадь, когда длительность этого импульса   0. Еще удобнее определить -функцию как предел функции при h  .

Практически удобно еще требовать, чтобы -функция была четной. Тогда, ,

при любом  > 0. Важным является то, что для любой непрерывной функции x(t):

Т.е. интеграл от произведения -функции на любую непрерывную функцию равен значению этой функции при том значении переменной интегрирования, при котором аргумент -функции обращается в нуль. Выражение можно переписать в более общем виде, для любого интервала (a, b), содержащего точку t, т.е. a < t < b: 2.3.4

Действительно, формула (2.3.4) представляет функцию x(t) в виде суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых вида x()(t-)d. Каждое такое слагаемое представляет собой бесконечно малый импульс x()d, действующий в момент времени t = , так как (t-) по определению является мгновенным единичным импульсом, действующий в момент времени t = .

Если функция x(t) задана при всех значениях t, и мы хотим представить ее разложением на элементарные импульсы на всей числовой оси, то, приняв в (2.3.4) a = - , b = , получим: форм.2.3.5

П усть на вход линейной системы, описываемой оператором А_t (рис. 2.3), поступает сигнал x(t), тогда выходная величина этой системы равна y(t) = A_tx(t)

y(t) x(t)

Рис. 2.3. Оператор линейной системы

Подставим в эту формулу выражение (2.3.5) и проведем преобразование на основе (1.9.1):

. (2.3.7)

Формула (2.3.7) показывает, что для нахождения реакции линейной системы на произвольное возмущение x(t) достаточно знать ее реакцию на единичный импульс (t-), действующий на нее в произвольный момент времени .Эта реакция зависит от переменных t и , т.е. от момента действия импульса  и текущего момента времени t: .(2.3.8)

Функция , определяемая формулой (2.3.8), является исчерпывающей характеристикой линейной системы и называется ее весовой или импульсной переходной функцией. Весовая или импульсная переходная функция линейной системы представляет собой реакцию этой системы в момент времени t на единичный импульс, действующий на систему в момент времени .

Следовательно, . (2.3.9)

Таким образом, оператор любой линейной системы может быть представлен в форме линейного интегрального оператора.

Отметим, что физическая система не может реагировать в данный момент времени на возмущение, которое будет действовать на нее позже, т.е. .(2.3.10)

Данное условие называется условием физической возможности системы (физической реализуемости системы).

Для физически возможной линейной системы, находящейся в покое до момента времени t₀, имеем

(2.3.11)

11. Во многих задачах практики удобно использовать в качестве типовых воздействий гармонические колебания всех возможных частот. Известно, что при весьма общих условиях любую функцию можно разложить в ряд Фурье или представить интегралом Фурье. Поэтому, зная реакцию линейной системы на гармонические колебания всех возможных частот и пользуясь принципом суперпозиции, мы можем определить реакцию системы на произвольное возмущение.

Рассмотрим некоторую функцию x(t). Если эта функция абсолютно интегрируема, то ее можно представить интегралом Фурье: (2.4.1) где (2.4.2)

Эти формулы определяют преобразование Фурье. Если возмущение x(t) действует на входе линейной системы, описываемой оператором A_t (рис. 2.3), то на основании принципа суперпозиции выходная функция системы равна (2.4.3)

где A_te^it – реакция системы на гармонические колебания частоты .

Реакция системы на гармонические колебания может принята за характеристику линейной системы. Зная эту характеристику, мы можем по формуле (2.4.3) вычислить реакцию линейной системы на произвольное возмущение, которое можно представить рядом или интегралом Фурье. Обычно эту характеристику обобщают и в качестве типового воздействия рассматривают показательную функцию e^pt, где p – произвольный комплексный параметр. Если p – чисто мнимый параметр, т.е. p = i, то e^pt - гармонические колебания частоты , т.к. e^pt = cost + isint. Если р – комплексный параметр с отрицательной действительной частью, то e^pt – затухающие гармонические колебания. Если р – комплексный параметр с положительной действительной частью, то e^pt – расходящиеся гармонические колебания. Если р – действительное число, то e^pt можно рассматривать как затухающие или расходящиеся гармонические колебания нулевой частоты. Таким образом, семейство показательных функций e^pt охватывает гармонические колебания всех возможных частот.

Любая система, которую мы будем возбуждать гармоническими колебаниями, будет реагировать на них также каким-то колебательным движением. Нужно задать такую характеристику, которая определяет преобразование амплитуды и сдвиг фазы выходного колебания по отношению к входному.

Такой характеристикой может быть следующее отношение: (2.4.4)

Функцию W(t,p) называют характеристикой реакции линейной системы на показательное возмущение или параметрической передаточной функцией.