2.6.2. Энергия электрического поля.

Можно показать, что и в общем случае энергия произвольной системы электрических зарядов может быть выражена через характеристику самого электрического поля, его напряженность , создаваемого этой системой:

. (6.9)

где интегрирование в правой части ведется по объему, где поле отлично от нуля.

Математическое отступление.

Если имеется векторное поле , то для него справедлива теорема Гаусса-Остроградского:

.

Введем некоторые скалярные функции и и представим вектор как .

Обозначим

.

где нормаль к поверхности .

Найдем дивергенцию вектора :

.

Тогда теорема Гаусса-Остроградского может быть записана в следующем виде:

. (6.10)

Воспользуемся теперь формулой (6.10), положив , где под будем, по-прежнему, понимать потенциал электрического поля. Тогда имеем

. (6.11)

Для дальнейших преобразований используем связь между потенциалом и напряженностью электрического поля

и уравнение Пуассона

.

Подставляя в уравнение (6.11), получаем

. (6.11а)

Выбирая поверхность интегрирования, мы должны принять во внимание, что на поверхности имеются особые точки или области расположения электрических зарядов, на которых электрическое поле меняется скачком, а функция терпит разрыв. Чтобы интеграл в правой части уравнения (6.11а) имел смысл эти области необходимо выделить.

Пусть внешняя поверхность, по которой ведется интегрирование, а замкнутая поверхность (или поверхности), обходящая заряженные поверхностные слои (т.е. именно те места, где существуют разрывы функции или, что то же самое, скачки напряженности поля ) и образующая полость под поверхностью .

Будем стягивать поверхность к поверхности , которая заряжена с поверхностной плотностью . Тогда

. (6.12)

Для поверхности направление нормали определяется точно так же, как и для поверхности – она должна быть внешней по отношению к объему в любой точке рассматриваемой поверхности. Т.о., получается, что нормаль имеет противоположные направления по разные стороны поверхности , что, конечно, неудобно.

Введем нормаль (направленную из области 1 в область 2 и внешнюю к поверхности ).

Тогда выражение, стоящее под знаком интеграла в правой части выражения (6.12), преобразуется следующим образом:

.

Имея в виду, что

, ,

и используя граничные условия (5.5), получаем

.

Таким образом,

. (6.13)

Теперь уравнение (6.11а) при наличии на поверхности областей расположения электрических зарядов, преобразуется к виду:

, (6.14)

где, по-прежнему, внешняя поверхность, а заряженные поверхностные области.

Интеграл «по » означает интегрирование по объему, ограниченному внешней поверхностью , а интеграл (или интегралы) по поверхности интегрирование по поверхностям, с распределенными на них с плотностью зарядами.

Для вычисления энергии электрического поля интегрирование должно проводиться по всему объему , где значение напряженности поля отлично от нуля (по «полному полю»), т.е. по пространству, ограниченному поверхностью , на которой поле вектора обращается в нуль ( ). Если поле распространяется на бесконечность, то и поверхность . Интегралы по бесконечной поверхности и бесконечному пространству можно брать только в том случае, если интегралы всех величин по поверхности стремятся к нулю ( 0) при стремлении площади поверхности к бесконечности.

Так как поверхность растет с увеличением её радиуса (расстоянием) , то, следовательно, подынтегральное выражение должно убывать быстрее, чем . Рассмотрим второе слагаемое в правой части (6.14): на бесконечности зарядов нет, поэтому

и , поэтому .

Отсюда

,

либо этот интеграл обращается в нуль на конечной поверхности, где поле равно нулю.

Далее мы везде будем полагать, что, по определению понятия “полное поле”, интегралы по ограничивающей полное поле поверхности обращаются в нуль.

Т.о., окончательно получаем формулу (6.9):

.

2.6.3. Собственная энергия.

Поместим электрический заряд на маленький уединенный шарик радиусом и сосчитаем потенциальную энергию заряженного шарика, воспользовавшись выражениями (6.4) и (6.9). Соответственно, получаем

1) , (6.15)

т.к. , поскольку в окружающем шарик пространстве других зарядов нет.

2) , (6.16)

где напряженность электрического поля, создаваемого зарядом в окружающем пространстве.

Мы получаем два взаимоисключающих ответа на один и тот же вопрос. Почему?

Дело в том, что выражение (6.16) для энергии шарика, записанное через электрическое поле, учитывает так называемую собственную энергию заряда. В принципе, мы могли получить тот же результат и из (6.15), если бы приписали заряду конечный объем, затем мысленно разбили бы весь заряд на элементарные заряды и подсчитали энергию взаимодействия между элементарными зарядами по формуле (6.15). При таком подходе мы и получили бы отличную от нуля ( ) собственную энергию заряда . Именно так мы и поступали, вычисляя энергию уединенного проводника.

Собственная энергия может быть определена как работа сил взаимного отталкивания элементарных зарядов , образующих заряд , которую они бы произвели, если бы все части заряда разлетелись на бесконечное расстояние.

Суммируя сказанное, отметим, что выражения (6.4) и (6.9), или (6.15) и (6.16), отличаются по своему содержанию. Расчет по формуле (6.9) позволяет получить полную энергию системы электрических зарядов, включающую в себя как энергию взаимодействия, так и собственную энергию зарядов системы, в то время как использование выражения (6.4) позволяет найти только энергию взаимодействия зарядов.

Игнорирование этого обстоятельства может явиться источником грубых ошибок.

2.6.4. Полная энергия.

Найдем полную энергию системы, состоящей из двух точечных зарядов и .

Пусть поле, создаваемое в окружающем пространстве зарядом , описывается вектором , а поле, создаваемое зарядом – . Тогда по принципу суперпозиции полное поле равно

.

Энергия рассматриваемой системы зарядов:

. (6.17)

Здесь и - собственные энергии зарядов и , соответственно; - энергия взаимодействия зарядов и :

. (6.18)

Из неравенства , следует, что

(6.19)

Т.о., положительная собственная энергия зарядов всегда больше или равна взаимной энергии зарядов, которая, в отличие от собственной, может быть как положительной, так и отрицательной.

Примечания.

1. при вычислении работы по перемещению зарядов, не меняющих размеров и формы, собственная энергия может рассматриваться как аддитивная добавка к взаимной энергии (т.е. ее можно не учитывать);

2. энергия электростатического поля не обладает свойством аддитивности: , но .

2.6.5. Энергия электрического поля в диэлектриках.

Энергия электростатического поля в диэлектрике выражается через векторы напряженности поля и электрической индукции :

, (6.20)

а плотность энергии равна

. (6.21)

Покажем это. Если нет поверхностных зарядов ( ), то векторы и непрерывны во всем пространстве и их можно дифференцировать. При наличии поверхностных зарядов (например, на поверхности ), дифференцирование векторов можно вести во всем пространстве за исключением областей пространства вокруг этих поверхностных зарядов.

Воспользуемся следующим выражением:

. (6.22)

Вспоминая, что , получаем

. (6.23)

Теперь, используя (6.23), приведем выражение (6.20) к виду:

.

Далее преобразуем интегралы в правой части выражения, используя

теорему Гаусса - Остроградского:

,

причем, как и в параграфе 2.6.2, первый интеграл, стоящий в правой части, берется по наружной поверхности , а второй – по замкнутой поверхности , окружающей слои поверхностных зарядов,

и теорему Гаусса для вектора в дифференциальной форме ( ):

.

Получаем

.

Проведем интегрирование по полному полю, и, полагая, что ограничивающая его внешняя поверхность , а поверхность (поверхности) стягивается к слою поверхностных зарядов , т.е. . При конечной системе зарядов интеграл по внешней поверхности , при , как было показано выше, стремится к нулю: , а интегралы по вспомогательным поверхностям в пределе равны

. (6.24)

Т.о., мы приходим к ожидаемому результату:

. (6.25)

Теперь выражение для плотности энергии электрического поля приобретает вид:

. (6.26)

Очевидно, что выражения (6.8) и (6.9) являются частными случаями (6.20) и (6.26) и могут быть получены из последних при .

Для однородных диэлектриков и плотность энергии:

. (6.27)

Примечание 1: в СИ выражения для плотности энергии имеет вид

,

а в случае однородных диэлектриков

.

Примечание 2: В более общем виде выражение для энергии электрического поля записывается как

,

где

и .

При такой форме записи учитывается история появления электрического поля, т.е. приведенные выражения могут быть использованы и для сегнетоэлектриков.