Опорными точками являются:

1) точки, принадлежащие участвующим в пересечении ребрам многогранника;

2) точки, в которых линия пересечения пересекает линию видимого контура поверхности относительно той или иной плоскости проекций; проекции этих точек принадлежат очерковой линии соответствующей проекции поверхности и называются очерковыми.

В этих точках проекция линии пересечения касается очерка проекции поверхности.

В случае пересечения поверхности с плоскостью очерковые точки делят соответствующую им проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части и называются точками смены видимости.

При пересечении двух поверхностей (когда ни одна из них не является плоскостью) не каждая из очерковых точек является одновременно и точкой смены видимости;

3) экстремальные точки, то есть самая близкая и самая удаленная точки линии пересечения относительно той или иной плоскости проекций.

Основным способом построения точек, принадлежащих искомой линии пересечения, является способ вспомогательных поверхностей. Сущность его заключается в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, одна из которых является линией пересечения вспомогательной поверхности с одной из заданных, а вторая - линией пересечения той же вспомогательной поверхности с другой из заданных поверхностей.

В соответствии с этим построение произвольных точек 1 и 2, принадлежащих линии l пересечения поверхностей Ф и (независимо от их вида), осуществляется по следующей общей схеме (рис.)

1. Проводится вспомогательная поверхность , пересекающая заданные поверхности Ф и .

2. Определяются линии m и n пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных.

3. Отмечаются точки 1 и 2 пересечения построенных линий m и n, которые и являются искомыми, так как одновременно принадлежат данным поверхностям Ф и и, следовательно, линии l их пересечения.

В символической записи схема имеет вид:

1) Ф ;

2) m = Ф n = ;

3) 1 = m n 2 = m n.

Примечание.

Так как линии m и n принадлежат одной и той же вспомогательной поверхности , они могут пересекаться, касаться и не иметь общих точек. В последнем случае вспомогательная поверхность выбрана неудачно, т. е. вне зоны существования линии пересечения.

Многократное применение указанного способа позволяет определить достаточное количество точек (опорных и промежуточных), принадлежащих линии пересечения. При решении конкретной задачи необходимо на основании общей схемы составить алгоритмы для построения опорных и промежуточных точек линии пересечения. В качестве вспомогательных поверхностей могут быть выбраны плоскость, сферическая, цилиндрическая и коническая поверхности. Наиболее часто применяются плоскости (способ вспомогательных плоскостей) или сферы (способ вспомогательных сфер).

Выбор вида и положения вспомогательных поверхностей определяется в основном тремя соображениями:

1. Необходимо определить положение целого ряда опорных точек линии пересечения.

2. Любая из проведенных вспомогательных поверхностей должна пересекать каждую из заданных по таким линиям, проекций которых были бы, как правило, графически простыми линиями, т. е. прямыми или окружностями.

3. Все вспомогательные поверхности должны пересекать заданные в пределах зоны возможного расположения линии пересечения, чтобы избежать лишних построений.

Первое условие ставит выбор вспомогательных поверхностей в зависимость от необходимости определения тех или иных опорных точек линии пересечения. Действительно, опорные точки располагаются на вполне определенных линиях, принадлежащих заданным поверхностям. Поэтому вспомогательные поверхности должны быть выбраны таким образом, чтобы они пересекали заданные именно по этим линиям с учетом выполнения второго условия.

Так, для определения точек, принадлежащих участвующим в пересечении ребрам многогранника, вспомогательные поверхности следует провести через эти ребра. Для построения очерковых точек вспомогательная поверхность должна проходить через соответствующую линию видимого контура поверхности.

В частности, для поверхностей вращения - через главный меридиан и экватор. Для построения экстремальных точек кривой пересечения трудно указать общий для всех случаев принцип проведения вспомогательной поверхности. Каждый раз приходится предварительно искать те линии поверхностей, которым эти точки принадлежат, а затем через них проводить вспомогательные поверхности.