Найдите математическое ожидание случайной величины y, получаемой в ходе репрезентативного социологического опроса в России.
Задача 6.7. Проводится опрос 100 экспертов относительно эффективности деятельности А.В. Петькина на посту губернатора области N. Каждому эксперту предлагается оценить деятельность губернатора по 4-хбалльной шкале:
– 2 (совершенно неэффективная)
– 1 (скорее, неэффективная)
1 (скорее, эффективная)
2 (совершенно эффективная)
Получено следующее процентное распределение значений случайной величины Х:
Значения |
– 2 |
– 1 |
1 |
2 |
Проценты |
0.3 |
0.4 |
0.2 |
0.1 |
На основании имеющихся данных:
Рассчитайте средний балл, полученный А.В. Петькиным при опросе 100 экспертов
Постройте на основе процентного распределения полигон относительных частот
Рассчитайте значения функции распределения случайной величины X на основе процентного распределения
Постройте на основе процентного распределения кумуляту (график функции распределения). Проинтерпретируйте построенный график
Рассчитайте значения функции риска для случайной величины X на основе процентного распределения
Постройте на основе процентного распределения график функции риска для случайной величины X. Проинтерпретируйте построенный график
Задача 6.8. Вернемся к предыдущей задаче и рассмотрим результаты опроса не всех 100 экспертов, а лишь подмножества оппозиционно настроенных. Ниже представлены значения функции риска для случайной величины X – балл, выставленный экспертом-оппозиционером, деятельности губернатора.
Значения |
– 2 |
– 1 |
1 |
2 |
Проценты |
1 |
0.5 |
0.2 |
0.05 |
На основе значений функции риска требуется:
Дать содержательную интерпретацию значениям функции риска
Построить график функции риска
Построить ряд распределения случайной величины Х
Вычислить значения функции распределения случайной величины Х
Построить кумуляту (график функции распределения случайной величины Х)
Задача 6.25. Проводится серия из 5 случайных экспериментов, каждый из которых представляет собой бросание монетки. В каждом из случайных экспериментов фиксируется выпадение «орла» (О) или «решки» (Р).
Сколькими способами в серии из 5 бросаний монетки может быть получено 3 орла и 2 решки?
Какова вероятность того, что в серии из 5 бросаний монетки наступит следующая комбинация элементарных исходов: ОРОРО?
Какова вероятность того, что в серии из 5 бросаний монетки выпадет одна из подобных комбинаций элементарных исходов, включающая в себя три «орла» и две «решки»?
Задача 6.26. Проводится серия из 5 случайных экспериментов, каждый из которых представляет собой бросание кубика. Успехом в каждом из пяти случайных экспериментов считается исход, в котором выпала шестерка.
Сколькими способами в серии из 5 бросаний кубика шестерка может выпасть 4 раза?
Какова вероятность того, что в серии из 5 бросаний кубика выпадет следующая комбинация элементарных исходов: УНУУУ?
Какова вероятность того, что в серии из 5 бросаний кубика выпадет одна из подобных комбинаций элементарных исходов, включающая в себя четыре «успеха» и один «неуспех»?
Задача 6.27. Проводится серия из 6 случайных экспериментов, каждый из которых представляет собой бросание монетки. В каждом из случайных экспериментов фиксируется выпадение «орла» (О) или «решки» (Р).
Сколькими способами в серии из 6 бросаний монетки может быть получено 4 «орла» и 2 «решки»?
Какова вероятность того, что в серии из 6 бросаний монетки наступит следующая комбинация элементарных исходов: ОРРООО?
Какова вероятность того, что в серии из 6 бросаний монетки выпадет одна из подобных комбинаций элементарных исходов, включающая в себя 4 «орла» и 2 «решки»?
Задача 6.28. Проводится серия из 5 случайных экспериментов, каждый из которых представляет собой случайное извлечение шара из урны. После извлечения шар возвращается в урну, благодаря чему состав шаров в урне не изменяется. Всего в урне 3 черных и 7 белых шаров. «Успехом» считается исход, в котором был извлечен белый шар.
Сколькими способами в серии из 5 случайных извлечений шара из урны (с возвращением) может быть зарегистрирован результат «белый шар был извлечен дважды»?
Какова вероятность того, что в серии из 5 случайных извлечений шара из урны (с возвращением) может быть зарегистрирована следующая комбинация элементарных исходов: УНУНН?
Какова вероятность того, что в этой серии случайных экспериментов белый шар будет извлечен 2 раза?
Задача 6.29. Проводится серия из 6 случайных экспериментов, каждый из которых представляет собой случайное извлечение шара из урны. После извлечения шар возвращается в урну, благодаря чему состав шаров в урне не изменяется. Всего в урне 4 черных и 6 белых шаров. «Успехом» считается исход, в котором был извлечен белый шар.
Сколькими способами в серии из 6 случайных извлечений шара из урны (с возвращением) может быть зарегистрирован результат «белый шар был извлечен четырежды»?
Какова вероятность того, что в серии из 6 случайных извлечений шара из урны (с возвращением) может быть зарегистрирована следующая комбинация элементарных исходов: УУУНУН?
Какова вероятность того, что в этой серии случайных экспериментов число «успехов» будет равно четырем?
Задача 6.30. В тесте содержится 4 вопроса. На каждый вопрос предложены 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Студент не знает материал по предмету и отвечает совершенно наугад. Процесс решения студентом тестового задания можно рассматривать как случайный эксперимент, результатом которого является набор из четырех ответов (правильных и/или неправильных).
Сколько существует элементарных исходов этого случайного эксперимента, в которых студент даст ровно 2 верных ответа?
Какова вероятность наступления следующего элементарного исхода: + + – – (где + означает верный ответ, а минус – неверный)?
Какова вероятность того, что студент даст ровно 2 правильных ответа?
Задача 6.31. В тесте содержится 5 вопросов. На каждый вопрос предложены 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Для получения оценки «удовлетворительно» необходимо правильно ответить ровно на три вопроса. Студент не знает материал по предмету и отвечает совершенно наугад. Процесс решения студентом тестового задания можно рассматривать как случайный эксперимент, результатом которого является набор из пяти ответов (правильных и/или неправильных).
Сколько существует элементарных исходов этого случайного эксперимента, в которых студент даст ровно 3 верных ответа?
Какова вероятность наступления следующего элементарного исхода: + + – – + (где + означает верный ответ, а минус – неверный)?
Какова вероятность того, что студент получит оценку «удовлетворительно»?
Задача 6.32. (вывод общей формулы) В тесте содержится n вопросов. На каждый вопрос предложены вариантов ответа (0 < p < 1; – натуральное число), из которых только один правильный. Для получения оценки «удовлетворительно» необходимо правильно ответить ровно на k вопросов. Студент не знает материал по предмету и отвечает наугад. Процесс решения студентом тестового задания можно рассматривать как случайный эксперимент, результатом которого является набор из n ответов (правильных и/или неправильных).
Сколько существует элементарных исходов этого случайного эксперимента, в которых студент даст ровно k верных ответа?
Какова вероятность того, что студент получит оценку «удовлетворительно»?
Задача 6.33. Игральную кость бросают 6 раз. Пусть X – с.в., равная числу выпавших шестерок.
Какое распределение имеет с.в. X?
Вычислите вероятности следующих событий:
P (X = 1)
P (X = 6)
P (X ≤ 2)
Задача 6.34. Случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 5, p = 0.5. Какие из перечисленных ниже значений может принимать с.в. X?
-2
-0.3
0
0.5
1
2
2.5
5
6
Задача 6.35. В студенческой группе 15 девушек и 5 юношей. Из этой группы случайным образом выбирают 4 студентов. Пусть с.в. X – число девушек среди отобранных студентов.
Укажите распределение с.в. X
Вычислите вероятности следующих событий:
P (X = 4)
P (X < 2)
P (X ≤ 3)
Задача 6.36. Компания, специализирующаяся на выпуске микроволновых печей, в год выпускает 40 тыс. штук продукции, из которых 32 тыс. (80%) соответствуют стандарту качества. Отдел контроля качества, не зная о таком соотношении нормальной и дефективной продукции, желает оценить долю нормальной продукции с помощью случайного выбора 10 микроволновых печей. Найдите вероятность того, что в случайной выборке получится ровно половина дефективных изделий.
Задача 6.37. В коробке 23 конфеты: 6 «Мишек на севере», 8 «Гусиных лапок» и 9 батончиков «Рот Фронт». Ребенок – большой любитель батончиков «Рот Фронт» – случайным образом достает из коробки 5 конфет.
Какова вероятность того, что он достанет как минимум 3 батончика «Рот Фронт»?
Постройте для случайной величины X (число батончиков «Рот Фронт») ряд распределения, полигон относительных частот и кумуляту (график функции распределения)
Задача 6.38. В проверочном тесте 5 вопросов, к каждому из которых предложены 4 варианта ответа (верен только один вариант ответа). За каждый верный ответ начисляется один балл. Рассмотрим случайную величину X – число баллов, набранное студентом-двоечником, отвечающим сугубо наугад.
Постройте для этой случайной величины ряд распределения, полигон относительных частот и кумуляту (график функции распределения)
Задача 6.39. Студент на экзамене должен вытащить из кучки билетов, содержащих по одному вопросу, 4 билета. Всего вопросов (и, соответственно, билетов) 18. Из них студент знает 12 вопросов и не знает 6 вопросов.
Какова вероятность того, что, вытаскивая случайным образом 4 билета из кучки, студент вытащит не менее 3 билетов, на которые он не знает ответа?
Задача 6.40. Студент на экзамене должен вытащить из кучки билетов, содержащих по одному вопросу, 4 билета. Всего вопросов (и, соответственно, билетов) 20. Из них студент хорошо знает 5 вопросов, плохо знает 9 вопросов и не знает 6 вопросов.
Какова вероятность того, что, вытаскивая случайным образом 4 билета из кучки, студент вытащит не менее 4 билетов, на которые он не знает ответа.
Задача 6.41. В ходе социологического исследования респонденты опрашиваются на предмет того, проголосовали ли они за партию «Единая Россия» на последних выборах в Государственную Думу ФС РФ. Опрашивается n респондентов.
Случайно выбранный респондент проголосовал за партию «Единая Россия» с вероятностью p.
Чему равно ожидаемое число респондентов, заявляющих о том, что они проголосовали за партию «Единая Россия» на последних парламентских выборах?
Чему равна дисперсия числа респондентов, заявляющих о том, что они проголосовали за партию «Единая Россия» на последних парламентских выборах?
Чему равно ожидаемое число респондентов, заявляющих о том, что они не проголосовали за партию «Единая Россия» на последних парламентских выборах?
Чему равна дисперсия числа респондентов, заявляющих о том, что они не проголосовали за партию «Единая Россия» на последних парламентских выборах?
Задача 6.42. Рассмотрим случайную величину pn = . Найдите E(pn) и D(pn), если известно, что Sn ~ B (n = 10, p = 0.7). В качестве ответа запишите вещественные (действительные) числа, которым равняются E(pn) и D(pn). Дайте содержательную интерпретацию случайной величине pn.
Задача 6.43. Пять студентов-двоечников (Владилен, Мэлс, Варлен, Веор и Рэм) переписывают экзаменационный тест, состоящий из 10 вопросов. К каждому вопросу предлагается 4 варианта ответа, из которых только один является верным. Студенты работают под пристальным присмотром преподавателя и работают самостоятельно. Однако все они пришли на пересдачу, совершенно не зная предмета, и отвечают полностью наугад.
Запишите формулу для расчета вероятности того, что Владилен верно ответит на a вопросов, Мэлс – на b, Варлен – на c, Веор – на d, а Рэм – на e.
Как называется записанная Вами функция?
Найдите вероятность того, что Владилен, Варлен и Веор верно ответят на 2 вопрос, Мэлс – на 3, а Рэм – на 5.
Задача 6.44. В городе N проводится исследование, в ходе которого организуются 3 фокус-группы с участием 20 совершеннолетних горожан. Участники фокус-групп отбираются случайным образом из числа совершеннолетних. Известно, что среди совершеннолетних горожан доля мужчин равна 0.4. Среди участников первой фокус-группы оказалось 2 мужчины, среди участников второй – 5, среди участников третьей – 4.
Найдите значение функции правдоподобия указанных трех значений случайной величины Х – число мужчин на фокус-группе.
Задача 6.45. В городе NN проводится исследование, в ходе которого организуются 5 фокус-групп с участием 10 совершеннолетних горожан. Участники фокус-групп отбираются случайным образом из числа совершеннолетних. Известно, что среди совершеннолетних горожан доля мужчин равна 0.5.
Среди участников первой фокус-группы оказалось 2 мужчины, среди участников второй – 5, среди участников третьей – 4, среди участников четвертой – 6, среди участников пятой – 8.
Найдите значение функции правдоподобия указанных пяти значений случайной величины Х – число мужчин на фокус-группе.
Представьте, что Вам неизвестна истинная доля мужчин среди совершеннолетних горожан города NN. Но, набирая участников фокус-группы случайным образом, Вы склонны считать, что полученный набор из пяти значений случайной величины Х наиболее вероятен при реально существующем (но не известном Вам) соотношении мужчин и женщин в NN. Предложите метод, с помощью которого можно вычислить долю мужчин в городе, если считать полученный набор из пяти значений случайной величины Х наиболее вероятным.
Задача 7.17. Приведите примеры нормально распределенных случайных величин, встречающихся в жизни.
Задача 7.18. Опишите условия, в которых возникает нормальное распределение в жизни.
Задача 7.19. Известно, что X ~ N(5,10).
Запишите функцию плотности вероятности с.в. Х
Запишите функцию распределения с.в. Х
Задача 7.20. С.в. Х имеет нормальное распределение со средним значением 5 и дисперсией 4. Найдите плотность распределения с.в. Х в эпсилон-окрестности следующих точек:
Х = 9
Х = 7
Задача 7.21. С.в. Х имеет нормальное распределение со средним значением 10 и дисперсией 9. Найдите плотность распределения вероятностей с.в. Х в эпсилон-окрестности точек:
Х = 7
Х = 16
Задача 7.22. Пусть z – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Найдите:
P(– 2 < z < 1.5)
P(– 2.6 < z < 0)
P(1 < z < 8)
P(– 2.5758 < z < 2.5758)
Задача 7.23. Пусть z – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Найдите:
P(– 2.5758 < z < 1)
P(– 2.4 < z < 1.4)
P(– 0.1 < z < 1.5)
P(– 1 < z < 1.5)
P(– 2.6 < z < – 1.7)
Задача 7.24. Пусть Z – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Найдите:
P(|Z| < 0.5)
P(|Z| > 1.5)
P(|Z| ≤ 1.96)
Задача 7.25. Пусть Z – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Найдите:
P(|Z| ≤ 2.5758)
P(|Z| ≤ 3)
P(|Z| ≤ 3.3)
Задача 7.26. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найдите:
P(|Z + 2| ≤ 2)
P(|Z – 2| ≥ 1.5)
P(|2Z – 1| ≤ 3)
Задача 7.27. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найдите:
P(|3Z| ≤ 3)
P(|2Z| ≤ 4)
P(|2Z| ≥ 3)
P(|1.5Z| ≥ 3)
Задача 7.28. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найдите:
P(|Z + 1| ≤ 2)
P(|Z – 0.5| ≤ 2)
P(|Z – 0.2| ≤ 1.7)
P(|Z – 0.5| ≥ 2)
Задача 7.29. Известно, что Z ~ N (0, 1). Найдите:
P(|2Z + 1| ≤ 3)
P(|2Z – 2| ≤ 2)
P(|2Z + 1| ≥ 3)
P(|1.5Z + 1| ≥ 2)
Задача 7.30. Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (3, 16). Z и Y независимы. Найдите:
P(Z + Y ≤ 4)
P(Z – Y ≤ 3)
P(Z – Y ≥ 4)
Задача 7.31.
Известно, что X ~ N(0, 4), Y ~ N(2, 4). Найдите P (X + Y ≤ 2), если X и Y независимы.
Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (2, 9). Найдите P(Z + Y ≤ 3), если Z и Y независимы.
Известно, что X ~ N(2, 4), Y ~ N(2, 9). Найдите P (X+Y ≥ 5), если X и Y независимы.
Известно, что X ~ N(2, 9), Y ~ N(2, 9). Найдите P (X – Y ≤ 5), если X и Y независимы.
Известно, что X ~ N(4, 9), Y ~ N(2, 9). Найдите P (2X – Y ≤ 5), если X и Y независимы.
Задача 7.32.
Известно, что X ~ N(0, 4), Y ~ N(2, 4). Найти P (|X + Y| ≤ 2), если X и Y независимы.
Известно, что X ~ N(2, 4), Y ~ N(2, 9). Найти P (|X +Y| ≥ 5), если X и Y независимы.
Известно, что X ~ N(2, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (|X – Y| ≤ 5), если X и Y независимы.
Известно, что X ~ N(4, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (|2X – Y| ≤ 5), если X и Y независимы.
Задача 7.33. У Вас есть 100 руб., которые Вы решили вложить в активы. Вы можете вложить деньги в 2 вида активов: стоимость одного – это Х, стоимость другого – это Y. Распределение цен активов таково: X ~ N (10, 1), Y ~ N (20, 9). Стоимости активов независимы.
За одну единицу покупаемого актива Вы платите среднюю стоимость этого актива.
Вы хотите вложить свои 100 руб. так, чтобы минимизировать риск критических потерь, коими принято считать 10%-ные потери (т.е. Вы хотите вложить деньги так, чтобы минимизировать риск того, что купленные Вами активы будут стоить не больше 90 руб.). Проведите соответствующие расчеты и установите, какой из способов формирования портфеля активов более Вам выгоден:
купить 10 единиц первого актива
купить 5 единиц второго актива
купить 4 единицы первого и 3 единицы второго актива
Имеются данные о явке на избирательные участки в 2003 и 2007 гг. в некотором регионе России (в % от зарегистрированных избирателей). Данные представлены по всем участковым избирательным комиссиям (УИКам) этого региона. Всего на территории региона 150 УИКов.
Сформулируйте исследовательский вопрос к имеющимся данным
Предложите метод решения поставленной Вами задачи с помощью проверки статистической гипотезы
Решите поставленную задачу, если в 80 УИКах явка повысилась, 65 – понизилась, а в 5 не изменилась. Рассчитайте минимальный уровень значимости статистики критерия и сделайте вывод о гипотезе.
2. В Высшей школе экономики проводится исследование того, как результаты зачета/экзамена по дисциплинам сказываются на отношении студентов к преподавателям этих дисциплин. Выбирается несколько «жестоких» дисциплин на разных факультетах. Случайная выборка объемом 1600 студентов опрашивается на предмет отношения к одному случайно выбранному преподавателю, ведущему у студента занятия. Опрос проводится до проведения зачета/экзамена. Студенты ставят преподавателю одну оценку по 5-тибалльной шкале. Те же 1600 студентов опрашиваются после зачета/экзамена и снова оценивают преподавателя.
Каким образом можно понять, меняется ли мнение студента о преподавателе после экзамена/зачета?
Пусть у 100 мнение не изменилось, у 900 ухудшилось, у 600 улучшилось. Какой вывод Вы сделаете?