Необходимое условие экстремума
Пусть ф. непрерывна в некотор окрестности точки х0 и имеет экстремум в этой точке тогда производная либо =о либо не сущ.
Док-во возможно 4 случая
1 f’(x0)>0 2 f’(x0)<0 3 f’(x0)=0 4 f’(x0) не сущ
Если f’(x0)>0 то сущ некоторая окрестность т. х0 в которой знаки дельтаХ и дельта f совпадают. Поэтому дельта f может принимать как положительные так и отриц знач. Но если т.х0-макс(мин) то сущ её окрестность , в кот дельта f неполож (не отритц)
Полученное противоречие показывает, что точка, в которой f’(x0)>0 не может быть точкой экстремума. Аналогично доказывается, что отпадает 2 случай=> остаются 3 и 4
11
Основные правила диф
1 Выбрав некоторое знач х дают ему приращение и находят значение функции в т.x+дельтаХ
2 Определяют приращение функции
3 Составляют отношение дельта f/дельтаХ и если можно упрощают его
4 Находят производную функции f’(x) (можно использовать основные теоремы о пределах).
Производная сложной ф.
Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.
Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную u’=u’(x), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)·u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).
Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.
12
ПР обратн ф
Пусть ф-ции y=f(x) u x=g(y) взаимообратные функции , тогда если y=f(x) имеет не равную 0 производную, то обратная функция имеет производную g’(y)=1/f’(x)
Действительно Т.к. y=f(x) и x=g(y) взаимообратные функции, то x=g(f(x)) тогда по ф. нахожд производной сложной ф. имеем: x’ по х =g’(y)*f’(x)=> 1=g’(y)*f’(x)
Откуда g’(y)=1/f’(x)
ПР ф заданной неявно
ПР ф заданной параметрически
13
Основн теоремы
Теорема Ферма Если ф y=f(x) задана на некотором промежутке принимает экстримальное значение в некоторой точке этого промежутка и диф в этой точке, то х=с – стационарная точка. Т.е f’(c)=0
Т-ма Ролля
Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.
Т Лагранжа Если ф f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (а,в) то найдётся хотя бы одна точка с, принадлеж (а,в) такая, что выполняется равенство f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)
Т Коши Если ф-ии f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (а,в) причём g’(x)<>0 для х принадлеж (а,в), то найдётся хотя б 1 точка с принадлеж (а,в) такая, что выполняется равенство (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)
14
Т-ма Ролля
Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.
Д-во: 1 случай. Пусть f(a)=m f(b)=M, тогда m=M(3 условие теоремы) Поэтому функция постоянная. Тогда всюду внутри отрезка пр-ная равна 0. В качестве т.с можно брать любую точку интервала
2 случай. Хотя б 1 из знач m или М ф. принимает во внутр точке отрезка. f(c)=M a<c<b это означает что с точка максимума ф. Но тогда согласно теореме сущ необходимого условия сущ экстремума производная =0 или не сущ. По усл f(x) –диф в любой т. интервала знач она диф в т.с в этом случае возможно f’(c)=0
15
Теорема лагранжа
16
Теорема Коши
17
1 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции на луче (0 + бесконечность) Причём g’(x)<>0 Пусть lim f(x)=lim g(x)=0 при х->бесконечность. Тогда, если сущ. lim отношения производный при х->бесконечность, то сущ. предел отнош. Функц. И эти пределы равны
2 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции в некотор окрестности т.а, за исключением быть может самой точки а
g’(x)<>0
Пусть lim f(x)=бесконечность при х->a
Пусть lim g(x)=бесконечность при х->a
Тогда если сущ предел отнош производных при х->а, то сущ предел отнош ф. при х->а, то эти пределы равны
3 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции на луче (0 + бесконечность) Причём g’(x)<>0 Пусть lim f(x)=lim g(x)=бесконечность при х->бесконечность
Тогда если сущ предел отношения производных, то существует и предел отношения функций и они равны
4 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции в некотор окрестности т.а
g’(x)<>0
Пусть lim f(x)=0 при х->a
Пусть lim g(x)=0 при х->a
Тогда если сущ предел отнош производных , то сущ и придел отношения ф. причём эти пределы равны
Замечание Если частное производных вновь даёт неопределённость то можно применять правило лапиталя ещё раз при условии что ф. удовлетвор условиям т коши