Необходимое условие экстремума

Пусть ф. непрерывна в некотор окрестности точки х0 и имеет экстремум в этой точке тогда производная либо =о либо не сущ.

Док-во возможно 4 случая

1 f’(x0)>0 2 f’(x0)<0 3 f’(x0)=0 4 f’(x0) не сущ

Если f’(x0)>0 то сущ некоторая окрестность т. х0 в которой знаки дельтаХ и дельта f совпадают. Поэтому дельта f может принимать как положительные так и отриц знач. Но если т.х0-макс(мин) то сущ её окрестность , в кот дельта f неполож (не отритц)

Полученное противоречие показывает, что точка, в которой f’(x0)>0 не может быть точкой экстремума. Аналогично доказывается, что отпадает 2 случай=> остаются 3 и 4

15

Т-ма Ролля

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

Д-во: 1 случай. Пусть f(a)=m f(b)=M, тогда m=M(3 условие теоремы) Поэтому функция постоянная. Тогда всюду внутри отрезка пр-ная равна 0. В качестве т.с можно брать любую точку интервала

2 случай. Хотя б 1 из знач m или М ф. принимает во внутр точке отрезка. f(c)=M a<c<b это означает что с точка максимума ф. Но тогда согласно теореме сущ необходимого условия сущ экстремума производная =0 или не сущ. По усл f(x) –диф в любой т. интервала знач она диф в т.с в этом случае возможно f’(c)=0

16

Теорема лагранжа

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] диф на интервале (а,в) то найдётся хотя б 1 точка с принадл интервалу такая, что выполн равенство f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)

Док-во Пусть y=k*x+l уравнение прямой проходящей через т.(а,f(a)),(b,f(b)) Как известно k=(f(b)-f(a))/(b-a) Рассмотрим ф. F(x)=f(x)-(k*x+l) Эта функция явл разность 2 непрерыв функц => она непрерывнана (а,в) и дифференц в любой точке. Наконец при х=а и х=b значения f(x)=k*x+l в этих точках f(a)=0 f(b)=0 Вспомог ф. удовлетворяем всем условиям теоремы Ролля, а значит на интервале найдётся по крайне мере 1 точка с в которой производная равна 0 поскольку F’(x)=f’(x)-k k=(f(b)-f(a))/(b-a) то F’(x)=f’(x)- (f(b)-f(a))/(b-a)

По т. Ролля F’(c)=0, тогда 0= f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)

17

Теорема Коши

Если ф-ии f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (а,в) причём g’(x)<>0 для х принадлеж (а,в), то найдётся хотя б 1 точка с принадлеж (а,в) такая, что выполняется равенство (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)

Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-f(a)- (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*(g(x)-g(a))

Она удовлетвор всем условиям теоремы Ролля непрерывна на отрезке [a,b] деффер. на интервале (a,b), т.к. является комбинацией функций f(x),g(x) На конце отрезка принимает одинаковые значения F(a)=F(b)=0 На соновании теоремы Ролля найдётся такая точка с, что F’(c)=0 Cледовательно f’(c)- (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g(c)=0

Значит (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)

18

1 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции на луче (0 + бесконечность) Причём g’(x)<>0 Пусть lim f(x)=lim g(x)=0 при х->бесконечность. Тогда, если сущ. lim отношения производный при х->бесконечность, то сущ. предел отнош. Функц. И эти пределы равны

2 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции в некотор окрестности т.а, за исключением быть может самой точки а

g’(x)<>0

Пусть lim f(x)=бесконечность при х->a

Пусть lim g(x)=бесконечность при х->a

Тогда если сущ предел отнош производных при х->а, то сущ предел отнош ф. при х->а, то эти пределы равны

3 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции на луче (0 + бесконечность) Причём g’(x)<>0 Пусть lim f(x)=lim g(x)=бесконечность при х->бесконечность

Тогда если сущ предел отношения производных, то существует и предел отношения функций и они равны

4 Пусть ф. f(x) g(x) диференц функции в некотор окрестности т.а

g’(x)<>0

Пусть lim f(x)=0 при х->a

Пусть lim g(x)=0 при х->a

Тогда если сущ предел отнош производных , то сущ и придел отношения ф. причём эти пределы равны

Замечание Если частное производных вновь даёт неопределённость то можно применять правило лапиталя ещё раз при условии что ф. удовлетвор условиям т коши

19