Свойства ф непрерывной на отрезке

1 Если ф непрерывна на некотором отрезке АВ то на этом открезке найдётся хотябы одна точка х=х1, такая, что значения функции в этой точке будут удовлетворять f(x1)=>f(x), где х любая точка отрезка АВ и найдётся по крайне мере 1 точка х=х2 такая что знач ф в этой т. будут удовлетвор f(x2)<=f(x) (в этом случае f(x1) наибольш зн .f(x2) наименш зн)

2. Пусть ф. непрерывна на АВ и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда между т.А и т.В найдётся по крайне мере 1 1 точка х=с, в кот f(c)=0

3. Пусть ф. непрерывна на [a,b] если на концах этого отрезка ф. принимает f(a)=A,f(b)=B A<>B то какого бы ни было число м, заключённое между А и В найдётся такая точка х=с , заключённая между а и b, что f(c)=м

8

Задачи приводящ к понятию производной

1 скорость прямолинейн движения

Пусть тело движется прямолинейно по известн закону S(t). Если движение было равномерн и за дельта t тело прошло путь дельта S, то v=дельта S/дельта t. Для переменного движения это отношение определяет v cp Но знание v cp не даёт полной картины движения, т.к разным видам движ может соответств одинак v cp.

Т.о. v cp не может отобразить особенности движения телав момент времени t, но по мере уменьшения t v cp будет характеризовать движение более полно

При дельта t->0 v cp-> lim,представляющему скорость движ тела в данный момент времени(мнг скорость)

Опр Мнг скорость – предел отношения приращ пути к приращ времени при приращ времени ->0

2 Скорость хим реакции

Обозначим черех х-кол вещ образов при хим реакции за время t х=f(t)

Если t получит приращ то и х получит приращ и скорость хим реакции выразится отнош приращ ф. к приращ к приращ аргумента

Мнг сокрость предел скорости хим реакции.

Опр производной

Задача нахожд скорости процессов привела к нахождению производной функции. Пусть дана функция которая определена на интервале (а,в) и непрерыв на нём. Дадим аргументу приращение так чтобы х+дельтаХ было в (а,в), тогда ф получит приращение. Отношение приращ ф. к приращ аргумента является функцией от дельта х и выражает среднюю скорость изменения функции f(x) относительно аргумента х на интервале (х, х+ дельтаХ)

Опр

Предел отношения прирща ф к приращ арг при дельтаХ->0 при условии что этот предел существует называется производной функции

Механ смысл производной

Производная ф. по аргументу х есть мнг скорость изменения функции. В этом сост

Механ смысл производной.

Геометрич-й смысл прпоиз-ой. Угловой коэф-т касательной k=tga=

=lim(дельтах->0)дельтау/дельтах. Это равенство перепишем в виде f’(x)=tga=k т.е. произ-ая f’(x) в точке х равна угловому коэф-ту касательной к графику у=f(x) в точке, абсцисса которой равна х.

9

Связи

Если ф. у=f(x) дифференцируема в некоторой точке х, то она непрерывна в этой точке. Док-во Пусть f(x)-дифер

lim дельтаf/дельтах=f’(x)

Согласно т. о связи бмф и предела дельтаf/дельтах=f’(x)+b(x), b(x)-бмф

Из последнего равенства имеем дельтаf=f’(x)*дельтаХ+b(x)*дельтаХ

Найдём придел дельтаf при дельтаX->0. Lim дельтаf=0 =>ф. непрерывна в т.х

Обратное утверждение неверно. Непрерывная функция в т. х может не иметь производную в этоц точке.

Основные правила диф

1 Выбрав некоторое знач х дают ему приращение и находят значение функции в т.x+дельтаХ

2 Определяют приращение функции

3 Составляют отношение дельта f/дельтаХ и если можно упрощают его

4 Находят производную функции f’(x) (можно использовать основные теоремы о пределах).

10

Связь

Т1

Если f(x)-диф и не убывающ( не возраст) функция на промежутке Х, то её производная не отритцательна(не положительна) на Х

Док-во Пусть f(x) неуб на Х. Возьмём приращение дальтаХ>0, тогда х<дельтаХ+х, поэтому f(x)<= f(x+дельтаХ)

То дельта f= f(x+дельтаХ) - f(x)>=0 тогда дальта f/дельтаХ>=0

Аналогично дальта f/дельтаХ>=0 если дельтаХ<0 =>Производная f(x) на Х неотр, если ф. неубыв. Случай когда f(x) невозраст ф. рассматривается аналогично.

Геометр смысл т1

Касательная к графику неуб(невозраст) ф. либо ll оси обсцисс либо образует с положит направлением этой оси острый(тупой) угол

Для исслед производной более важную роль играет обратное утверждение позволяющее определить характер изменения функции по закону её производной.

Т1* Если функция f(x) непрерывна на Х и имеет в каждой внутренней точке этого промежутка положительную(отритц) производную, то эта ф. возраст(убыв) на Х

Опр Пусть f(x) задана на множестве Х, определена в некоторой окрестности т.х0, принадл Х, и непрерывна в этой точке, если для всех точек х, принадл Х, f(x)<=f(x0) (f(x)>=f(x0)), то х0 назыв точкой максимума(минимума)

Опр.

Точки максимума и минимума называют т. экстремума.

Рисунок (волнистай линия 5 точек в 1-4 есть кас в 5 нету)

В точках экстремума 1,2,3,4 касательная ll Ox(т.е в этих точках производная равна 0)

В то же время в т5 кас провести нельзя=>производной не сущ.

Можно сделать предположение, что если ф. имеет экстремум в некотор т., то в этой точке произ-ная либо равна 00 либо не сущ.

Опр. Точки в кот произв равна 0 либо не сущ называются критическими точками( иногда точки где произв =0 называют стационарными точками)

Т Ферма Если ф y=f(x) задана на некотором промежутке принимает экстримальное значение в некоторой точке этого промежутка и диф в этой точке, то х=с – стационарная точка. Т.е f’(c)=0