Парная регрессия и корреляция

Функциональная зависимость – связь, при которой каждому значению независимой переменной Х соответствует точно определённое значение зависимой переменной Y.

Статистическая зависимость – связь, при которой каждому значению независимой переменной Х соответствует множество значений зависимой переменной, причём неизвестно заранее, какое именно значение примет Y.

Корреляционная зависимость – связь, при которой каждому значению независимой переменной Х соответствует математическое ожидание (среднее значение) зависимой переменной.

Функциональная и корреляционная зав-сть:

- Прямая – с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит увеличение (уменьшение) результативного признака.

- Обратная – с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит уменьшение (увеличение) результативного.

Этапы проведения комплексного корреляционно-регрессионного анализа:

1) Предварительный анализ явлений и выявление причин возникновения взаимосвязей между признаками, характеризующими эти явления.

2) Разделение признаков на факторные и результативные, выбор наиболее существенных признаков для их исследования на предмет включения в корреляционно-регрессионные модели.

3) Построение матрицы коэффициентов парной корреляции и оценка возможных вариантов группировки признаков корреляционно-регрессионных моделей.

4) Предварительная оценка формы уравнения регрессии.

5) Нахождение уравнения регрессии, вычисление коэффициентов регрессии и их смысловая интерпретация.

6) Расчёт теоретически ожидаемых (воспроизведенных или вычисленных по уравнению регрессии значений результативного признака).

7) Определение и сравнительный анализ дисперсии: общий, факторный, остаточный; оценка тесноты связи между признаками, включёнными в регрессионную модель.

8) Общая оценка качества модели (является ли модель адекватной, являются ли коэффициенты качественными), отсев несущественных (или включение дополнительных) факторов, построение модели, т.е. повторение п.1–7.

9) Статистическая оценка достоверности параметров уравнения регрессии, построение доверительных границ для теоретически ожидаемых по уравнению регрессии значений функции.

10) Практические выводы из анализа.

Ковариациия:

Cjv(e,x) = ( ⁿΣ_i=1 (x_i – x*)(y_i – y*) ) / n

N – объём исследуемой совокупности

X_i – i-e значение независимой переменной (i = 1,2,…,n)

Y­ – Значение зависимой переменной (i = 1,2,…,n)

Ф-ла1.

Тренд – устойчивая тенденция во временном ряду более или менее свободная от случайных колебаний.

Тендения среднего уровня выражается с помощью математического уравнения линии.

Основные типы трендов:

- логистический

- гиперболический

- прямолинейный

- параболический

- эксопненциальный

Понятие об авторегрессионных моделях.

Авторегрессионная модель p-го порядка (или модель AR(p)) имеет вид:

y_t = β₀ +β₁y_t-1 + β₂y_t-2 + … + β_py_t-p + ε₁

Промежуточный продукт – в стоимостном выражении произведенные затраты продукты этой отрасли в других отраслях экономики в качестве предметов труда, т.е. это стоимость текущих материальных затрат.

Конечный продукт – стоимость продукции отрасли, направляемой на накопление, потребление, совокупность фондов накопления и потребления по отрасли.

Чистая продукция отрасли – стоимость созданной в процессе производства или планируемой к производству продукции данной отрасли. Чистая продукция отрасли состоит из оплаты труда и чистого дохода (прибыли) отрасли.

Отрасли необязательно рассматривать как однопродуктовые, можно говорить о стоимостном вкладе продукции одной отрасли в выпуск единицы стоимости продукции другой отрасли.

Схема стоимостного межотраслевого баланса (СМОБ)

Всё народное хозяйство представляется в виде отраслей, каждая из которых рассматривается как производящая и как потребляющая.

I квадрант МОБ – матрица строки и столбцы – чистые отрасли. Одноимённые отрасли имеют одинаковые номера строк и столбцов.

(СХЕМА МАТРИЦЫ)

Строка – использование продукции данной отрасли другими отраслями включая расходы и на собственные нужды отрасли, т.е. строки отражают межотраслевые поставки сырья материалов, топлива, энергии.

Столбец – состав материальных затрат на производство продукции отдельных отраслей.

На диагонали – внутреннее потребление каждой отраслью своей же продукции.

Во II квадранте МОБ – конечное потребление продукции.

В III квадранте МОБ – затраты живого труда и основных производственных фондов, участвующих в производстве каждого вида продукции.

Пусть x_ij – межотраслевые потоки продукции, где i и j – номера отраслей производящих и потребляющих.

X_i – валовый выпуск продукции i-той отрасли.

Y_i – конечная продукция i-той отрасли.

(ТАБЛИЦА)

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица, содержащая коэффициенты прямых затрат на производство единицы продукции.

A = (a_ij) , a_ij = x_ij / X_j , i = 1,n

a_ij – какое количество продукции i-той отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли. Довольно стабильная величина во времени.

По смысле все a_ij≥0, причём все a_ij<1.

Межотраслевые потоки можно определить по формуле:

x_ij=a_ij*X_j , i=1,n

Т.к. по строкам МОБ – распределение продукции, на производственное и конечное потребление (I и II квадранты), то система уравнений баланса:

X_i=ⁿΣ_j=1 a_ijX_j+Y_i , i=1,n

Или в матричной форме:

X=AX+Y

X – вектор-столбец валовой продукции

Y – вектор-столбец конечной продукции

Система уравнений – экономико-математическая модель МОБ (модель «затраты-выпуск», модель Леонтьева)

Объёмы производства и распределения по одноимённым отраслям совпадают.

С помощью балансовой модели можно:

- задавая величины валовой продукции X, определить объём конечной продукции Y:

Y=(E-A)*X

- задавая величины конечной продукции Y, определить величины валовой X:

X=(E-A)^-1Y

Для ряда отраслей задавая величины валовой продукции, для остальных – объёмы конечной продукции, найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых отраслей.

Обозначим обратную матрицу В:

X=BY

B – матрица коэффициентов полных затрат, показывает, сколько всего нужно произвести продукции i-той отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-той отрасли.

Как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объёмов конечной продукции всех отраслей:

ΔX_i=ⁿΣ_j=1 b_ij ΔY_i , i=1,n

Z_j=X_j- ⁿΣ_i=1 x_ij , j=1,n

- условно-чистая продукция. Результаты можно представить в виде балансовой таблицы. Балансовое соотношение модели:

ⁿΣ_j=1 Z_j= ⁿΣ_i=1Y_i

На практике обычно известен вектор спроса Y. Задача МОБ – определение выпуска Х, чтобы удовлетворить спрос.

Модель является продуктивной, если положительное решение Х существует для любого неотрицательного Y.

Чтобы матрица коэффициентов прямых затрат была продуктивной. Необходимо и достаточно выполнение одного из условий:

- матрица В неотрицательна

- матричный ряд Е+А+А₂+… сходится, его сумма равна матрице В

Косвенные затраты. Затраты А¹=АА называются косвенными затратами 1-го порядка, А²=АА¹ – второго. А³=АА² – третьего.

Можно вычислить полные материальные затраты по приближённой формуле:

В^~=(Е+А)+(А¹+А²+А³)=(b^~_ij)_{n x m}

Относительные погрешности вычислений (в %):

(b_ij – b^~_ij)/b_ij*100%

Пример. Народное хозяйство представлено двумя отраслями: 1) тяжёлая промышленность, 2) лёгкая промышленность. За отчётный год получены данные о межотраслевых поставках и векторе объёмов конечного потребления.

№ отрасли	Межотраслевые потоки Х			Yo	X
	1		2
1 2	80 10		20 30	50 160	150 200
Z	60+150 =			=210
X	150	200			350

План:

X_пл=

Y=

№ отрасли	Межотраслевые потоки Х			Yo	X
	1		2
1 2	160 20		40 60	100+ +320	300+ +400
Z	120+300			=420
X	300	400			=700