Поворот:
Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.
Повернём оси координат на угол α относительно
исходной системы координат. Координаты точки М
в системе координат x′Oy′ равны x′ и y′. Найдём её
координаты в системе коорднат xOy. В треугольнике
CMD ∠CMD = α , OD=x′, MD=y′.
Следовательно, x=OA=OB-AB=OB-CD,
y=MA=AC-CM=DB+CM.
Поскольку
OB = x′ cos α, CD = y′ sin α,
CM = y′ cos α, DB = x′ sin α,
x = x′ cos α − y′ sin α,
то
y = x′ sin α + y′ cos α.
Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x′,y′) этой же точки при повороте осей на угол α.
Формулы, выражающие новые координаты (x′,y′) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол α, то старая система получается поворотом
новой на угол (-α), поэтому в равенствах можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно α на (-α).
Выполнив это преобразование, получим
x′ = x cos α + y sin α,
y′ = − x sin α + y cos α.
При этом, например, уравнения директрис эллипса (гиперболы) и параболы принимают вид:
x′ cos α
− y′ sin α = ±
;
x′ cos α
− y′ sin α = −
.
Классификация кривых второго порядка
Существуют следующие классы кривых второго порядка на евклидовой плоскости:
Эллиптического вида
А) Эллипс
В) Мнимый эллипс
С) Эллипс вырожденный в точку
Кривые гиперболического типа
А) Гипербола
В) Пара вещественных пересекающихся прямых
Параболического типа
А) Парабола
В) Пара вещественных параллельных прямых
y 2 − a2 = 0
С) Пара мнимых параллельных прямых
y2 + a2 = 0
D) Пара совпадающих прямых
y 2 = 0
Основные моменты доказательства теорем:
Коэффициенты при произведении xy либо равны 0 либо нет.
В каждой группе выделяется полный квадрат если это возможно.
Тогда уравнение будет приведено либо к 1 либо к 2 типу.
Если это невозможно, тогда один из коэффициентов при квадрате равен 0. А другой обязательно не 0 и получаем уравнение 3 типа.
А когда
коэффициент
не
0 переводим к предыдущему с помощью
поворота осей.
Алгебраические поверхности 2 порядка в трехмерном Евклидовом пространстве
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a10x + 2a20y + 2a30z + a00 = 0,
где коэффициенты a11, a22, a33, a12, a13, a23, a10, a20, a30, a00 − действительные числа, причем a11, a22, a33, a12, a13, a23 не равны нулю одновременно.
Особые поверхности 2 порядка:
1)Действительный эллипсоид
2)Мнимый эллипсоид
3)Однополостный гиперболоид
4)Двуполостный гиперболоид
5)Эллиптический параболоид
6)Гиперболический параболоид
В) Не распадающиеся действительные поверхности
Действительный конус
Мнимый конус
Эллиптический цилиндр
Мнимый эллиптический цилиндр
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр
Y 2
=
2pX
