2. Побудувати двоїсту задачу до заданої задачі лінійного програмування.

1. На основі умовно-оптимального плану цілочисельної задачі побудувати допоміжне обмеження Гоморі, приєднати його до умовно-оптимального плану, показаного у наведений нижче таблиці, і знайти цілі значення змінних задачі лінійного програмування

І	Базис	Сб	А0	-4	1	2	0	3
				А1	А2	А3	А4	А5
1	Х1	-4	7/2	1	-5/2	0	5/2	-3/2
2	Х3	2	5/2	0	1/2	1	31/2	11/2
			-9	0	10	0	21	14

2. Побудувати двоїсту задачу до заданої задачі лінійного програмування.

1. Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема випускає дві моделі збірних книжкових полиць: А та В. Полиці обох моделей обробляють на двох верстатах: шліфувальному та полірувальному. Тривалість обробки у хвилинах однієї полиці кожної моделі відома:

Тип верстату	Тривалість обробки однієї полиці, хв.
	А	В
Шліфувальний	15	40
Полірувальний	50	30

Час роботи обох верстатів обмежений і становить: для шліфувального 600 хв., для полірувального – 900 хв. на тиждень.

Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці обох типів не перевищує 20 одиниць.

Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А становить 300 грн., а моделі В – 400 грн. Визначити обсяги виробництва книжкових полиць різних моделей, що максимізують прибуток фірми.

Необхідно: 1) розв’язати задачу графічним методом; 2) визначити двоїсту оцінку для ресурсу – час роботи шліфувального верстату.

2. Визначити точку та характер умовного екстремуму функції

,

методом множників Лагранжа за умови, що

.

1. Фірма має 1 млн грн обігових коштів. Відомі витрати грошей у кожному місяці, а також обов’язкові залишки обігових коштів на кінець кожного місяця. Також передбачається, що для успішного функціонування фірма витрачатиме значно меншу суму, ніж 1 млн грн. Отже, решту коштів можна надавати у кредит. Необхідно визначити оптимальний розподіл обігових коштів протягом кварталу для досягнення максимального прибутку за процентними ставками, якщо відомі витрати та потреби в резервах:

1.01 –31.01: витрати – 80 000 грн; необхідний запас на 31.01 – 300 000 грн;

1.02 –28.02: витрати – 30 000 грн; необхідний запас на 28.02 – 200 000 грн;

1.03 –31.03: витрати – 50 000 грн; необхідний запас на 31.03 – 190 000 грн.

Кредит терміном на 1 місяць дає 2 % прибутку, терміном на 2 місяці – 5 %, а терміном на 3 місяці – 8 %. Вважатимемо, що кредити надаються першого числа кожного місяця і погашаються також першого числа відповідного місяця.

Побудувати економіко-математичну модель задачі.

2. Симплексним методом знайти розв’язок задачі лінійного програмування

1. Симплексним методом знайти розв’язок задачі лінійного програмування

2. Визначити точку та характер умовного екстремуму функції за методом множників Лагранжа

,

1. Розв’язати градієнтним методом наступну задачу нелінійного програмування, почавши процес з точки :

.

2. Розв’язати графічним методом задачу нелінійного програмування; знайти глобальні екстремуми:

,

1. Методом Франка-Вульфа знайти розв’язок задачі, що полягає у визначенні максимального значення функції з допустимою похибкою 0,01

за наступних умов

Вихідний допустимий розв’язок взяти .

2. Побудувати на площині множину розв’язків (багатокутник) системи лінійних обмежень-нерівностей і графічним методом знайти найбільше та найменше значення цільової функції в цьому багатокутнику (x₁0, x₂0).

1. Виробнича система складається з чотирьох філіалів. За умови здійснення реконструкції обладнання на кожному філіалі можна досягти певного приросту прибутку. Фірма виділяє на додаткові капітальні вкладення 200 тис. ум. од. (для спрощення розрахунків допустимо, що додаткові вкладення будуть здійснені в обсягах 50, 100, 150 та 200 тис. ум. од.).

Необхідно визначити оптимальний розподіл коштів між філіалами для максимізації загального прибутку від усіх чотирьох філіалів за умови, що відомі прирости прибутку для кожного з них (табл.):

Капіталовкладення, тис. ум. од.	Приріст прибутку в філіалах, тис. ум. од.
	1	2	3	4
50	25	30	36	28
100	60	70	64	56
150	100	90	95	110
200	140	122	130	142

2. Розв’язати графічним методом задачу нелінійного програмування; знайти глобальні екстремуми

1. На ринок поставляється картопля з трьох фермерських господарств за цінами відповідно 80, 75 та 65 коп. за 1 кг. На завантаження 1 т картоплі в господарствах відповідно витрачається по 1, 6 та 5 хвилин. Замовлено 12 т картоплі, і для своєчасної доставки необхідно, щоб на її завантаження витрачалося не більше сорока хвилин. Потрібно визначити, з яких фермерських господарств і в якій кількості необхідно доставляти картоплю, щоб загальна вартість закупівлі була мінімальною, якщо фермери можуть виділити для продажу відповідно 10, 8 та 6 т картоплі.

Побудувати економіко-математичну модель задачі.

2. Симплексним методом знайти розв’язок задачі лінійного програмування

_.

1. Стандартом передбачається, що октанове число бензину А-76 має бути не нижчим 76, а вміст сірки – не більшим, ніж 0,3 %. Для виготовлення такого бензину на заводі використовуються чотири компоненти. Дані про обсяги запасів компонентів, які змішуються, їх вартості, октанові числа та вміст сірки наведені в табл. 1:

Таблиця 1 – Техніко-економічні показники компонент бензину

Показник	Компонента бензину
	№ 1	№ 2	№ 3	№4
Октанове число	68	72	80	90
Вміст сірки, %	0,35	0,35	0,30	0,20
Наявний обсяг, т	700	600	500	300
Вартість, грош. од./т	40	45	60	90

Необхідно визначити, скільки тонн кожного компонента потрібно використати для того, щоб отримати 1000 т бензину А-76 з мінімальною собівартістю.

Побудувати економіко-математичну модель задачі.

2. Симплексним методом знайти розв’язок задачі лінійного програмування

1. Учасник експедиції складає рюкзак, і йому необхідно розв’язати питання про те, які взяти продукти. У розпорядженні є м’ясо, борошно, сухе молоко, цукор. У рюкзаку залишилось для продуктів лише 45 дм3 об’єму, до того ж необхідно, щоб загальна маса продуктів не перевищувала 35 кг. Лікар експедиції рекомендував, щоб м’яса (за масою) було більше, ніж борошна принаймні удвічі, борошна не менше, ніж молока, а молока хоча б у вісім разів більше, ніж цукру. Скільки і яких продуктів потрібно покласти в рюкзак, щоб сумарна калорійність продуктів була найбільшою? Характеристики продуктів наведені в табл. 1.

Таблиця 1 – Характеристики продуктів

Показники	Продукт
	м’ясо	борошно	молоко	цукор
Об’єм (дм^3/кг)	1	1,5	2	1
Калорійність (ккал/кг)	1500	5000	5000	4000

Побудувати економіко-математичну модель задачі.

2. Симплексним методом знайти розв’язок задачі лінійного програмування

1. Фермерське господарство спеціалізується на вирощуванні озимої пшениці і має три ділянки землі площею S₁ = 40 га, S₂ = 90 га, S₃ = 55 га. Враховуючи наявну кількість посівного матеріалу, є можливість засіяти всю площу озимою пшеницею трьох сортів. Кількість пшениці сорту «Миронівська-808» забезпечить посів на 80 га, «Безоста-1» – 60 га та «Одеська-51» – 45 га. Урожайність сорту «Миронівська-808» на даних ділянках становить відповідно 41 ц/га, 40 ц/га, 46 ц/га. Аналогічно для сорту «Безоста-1» маємо: 38 ц/га, 41 ц/га, 45 ц/га, а для «Одеської-51» – 30 ц/га, 28 ц/га, 40 ц/га.

Необхідно розподілити посівний матеріал за земельними ділянками так, щоб отримати максимальний урожай (валовий збір) озимої пшениці.

Побудувати економіко-математичну модель задачі.

2. Побудувати двоїсту задачу до заданої задачі лінійного програмування. Визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач.

1. Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема вона випускає два види збірних книжкових полиць – А та В. Полиці обох видів виготовляють на верстатах 1 та 2. Тривалість обробки деталей однієї полиці кожної моделі подано в табл. 1.

Таблиця 1 – Тривалість виготовлення книжкових полиць

Верстат	Тривалість обробки полиці моделі, хв.		Ресурс робочого часу верстатів, год. на тиждень
	А	В
1	30	15	40
2	12	26	36

Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А дорівнює 50 у. о., а моделі В – 30 у. о. Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці моделі А ніколи не перевищує попиту на модель В більш як на 30 одиниць, а продаж полиць моделі В не перевищує 80 одиниць на тиждень.

Необхідно визначити обсяги виробництва книжкових полиць цих двох моделей, що максимізують прибуток фірми. Для цього слід побудувати економіко-математичну модель поставленої задачі.

Побудувати економіко-математичну модель задачі.

2. Розв’язати задачу опуклого програмування.

_.

1. Для невеликої птахоферми потрібно розрахувати оптимальний кормовий раціон на 1000 курчат, яких вирощують з 4-х до 8-тижневого віку. Нехтуючи тим, що потижневі витрати кормів для курчат залежать від їхнього віку, вважатимемо, що за 4 тижні курча споживає не менше 500 г суміші. Крім цього, кормовий раціон курчат має задовольняти певні вимоги щодо поживності. Сформулюємо ці вимоги у спрощеному вигляді, беручи до уваги лише дві поживні речовини: білок і клітковину, що містяться у кормах двох видів – зерні та соєвих бобах. Вміст поживних речовин у кожному кормі та їх вартість маємо у табл. 1.

Таблиця 1 – Поживність та вартість кормів

Корм	Вміст поживних речовин в 1 кг корму, %		Вартість 1 кг корму, у. о.
	білку	клітковини
Зерно	10	2	0,40
Соєві боби	50	8	0,90

Готова кормова суміш має містити не менше як 20 % білка і не більш як 5 % клітковини. Визначити масу кожного з двох видів кормів, що утворюють кормову суміш мінімальної вартості, водночас задовольняючи вимоги до загальної маси кормової суміші та її поживності. Для цього слід побудувати економіко-математичну модель поставленої задачі.

2. На підприємстві встановлено нове обладнання. Залежність продуктивності цього обладнання від часу користування ним підприємством, а також залежність витрат на його утримання та ремонт при різному часі його використання наведені в таблиці.

Показник	Час, протягом якого використовується обладнання
	0	1	2	3	4	5
Річний випуск продукції у вартісному вираженні (тис. грн)	80	75	65	60	60	55
Щорічні витрати, пов’язані з утриманням та ремонтом обладнання (тис. грн)	20	25	30	35	45	55

Знаючи, що витрати, які пов’язані з купівлею та установкою нового обладнання, ідентичного з встановленим, складають 40 тис. грн., а обладнання, що замінюється, списується, скласти такий план заміни обладнання протягом 5 років, при якому загальний прибуток за даний період часу максимальний.

1. Продукція чотирьох видів А, В, С і D проходить послідовну обробку на двох верстатах. Тривалість обробки одиниці продукції кожного виду наведена в табл. 1.

Таблиця 1 – Тривалість обробки продукції на верстатах, год.

Верстат	Тривалість обробки одиниці продукції
	А	В	С	D
1	2	3	4	2
2	3	2	1	2

Витрати на виробництво одиниці продукції кожного виду визначають як величини, прямо пропорційні до часу використання верстатів (у машино-годинах). Вартість однієї машино-години становить 10 грн для верстата 1 і 15 грн – для верстата 2. Тривалість використання верстатів обмежена: для верстата 1 вона становить 450 машино-годин, а для верстата 2 – 380 машино-годин.

Ціна одиниці продукції видів А, В, С і D дорівнює відповідно 73, 70, 55 та 45 грн.

Визначити оптимальний план виробництва продукції всіх чотирьох видів, який максимізує загальний прибуток.

Розв’язати задачу лінійного програмування симплексним методом.

2. Визначити, чи є оптимальними такі плани сформульованої задачі лінійного програмування:

min Z = 12x₁ – 4x₂ + 2x₃;

а) Х = (8/7; 3/7; 0);

б) Х = (0; 1/5; 8/5);

в) Х = (1/3; 0; 1/3).

Розглянуто та схвалено на засіданні кафедри фінансів та кредиту, протокол № 3 від 17 листопада 2010 року

Завідувач кафедри ______________С.О. Хайлук

Екзаменатор ____________ С.О. Хайлук