25. Системы векторов. Ранг системы векторов. Ранг матрицы.

Линейно-зависимые и линейно-независимые системы векторов

Пусть имеем векторное пространство V и систему векторов A={ } (система отличается от множества тем, что в ней могут быть одинаковые элементы). Вектор называется линейной комбинацией системы векторов A. Если все скаляры α₁ = α₂ = α₃... = α_k = 0, то такая комбинация называется тривиальной (простейшей), (и ). Если хотя б один скаляр отличен от 0, то такая комбинация называется нетривиальной.

• Определение 1: система векторов A называется линейно-независимой, если только тривиальная линейная комбинация векторов системы равна , (т.е. )

• Определение 2: система векторов A называется линейно-зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация, равная .

Упражнения и примеры

На практике, чтобы установить линейную зависимость системы векторов, нужно, зачастую установить истинность высказывания

1. Покажем, что A={ }-линейнонезависимая система.

Решение: α(1,0)+β(0,1)=(0,0) ↔ (α,0)+(0,β)=(0,0) ↔ α=0, β=0, следовательно, A линейно-независимая система.

1. Покажем, что A={ } - линейно-зависимая система.

Решение. Найдём нетривиальную комбинацию, равную .

, т.е.

1. Элементами векторного пространства V являются линейные функции (т.е.вида y=kx+b). Установите, являются ли линейно-зависимыми (-независимыми) следующие системы: 1) A=(y=2x+3, y=x-√2) 2) B=( y=2x+12, y=x-√3, y=x+6)

Ранг матрицы

Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.

Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.

26. Определители матриц. Правила и методы их вычисления.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы детерминант определяется как

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где — дополнительный минор к элементу a_1j. Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

= a₁₁a₂₂a₃₃ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

Определение через перестановки

Для матрицы справедлива формула:

,

где α₁,α₂,...,α_n — перестановка чисел от 1 до n, N(α₁,α₂,...,α_n) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют «членами определителя». Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.

• Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.

• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

• Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

• Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

• Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

• Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

• Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

• Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).

• С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения: