Билет №23 Базис, координаты вектора, размерность пространства.
Упорядоченная
система из n
элементов
называется n-мерным
вектором.
Множество Ln
называется n-мерным
линейным пространством над полем
скаляров R,
если
определена операция сложения
и операция умножения на число
при
выполнении 8 аксиом ЛП.
Если n-размерность пространства Ln, то это значит, существует в Ln n линейно независимых векторов, а любые (n+1) векторов являются линейно зависимыми.
Базис пространства Vn– максимальная по включению линейно независимая система векторов из Vn
Таким образом, если
-
базис пространства Vn
1)То вектора { } образуют линейно независимую систему
В каждом пространстве геометрических векторов существует множество различных базисов, но они все состоят из одного и того же числа векторов. Число векторов в базисе пространства называется размерностью этого пространства.
Любой вектор х
принадлежащий L
может быть разложен по базису, то есть
представлен в виде линейной комбинации
базисных векторов
и при том единственным образом
Коэффициенты этого разложения x1,…,xn называется координатами вектора х в базисе
Билет №26
Линейный оператор и его матрица.
Оператором над
линейным пространством L
(или преобразованием L)
называется однозначное отображение
,
при котором каждому вектору
ставится
в соответствии единственный вектор
.
Обозначение:
. Вектор Х
называется прообразом У,
а У –
образом Х.
Оператор
называется линейным если выполняются
условия:
1)аддитивности
2)однородности
.
Пусть
– n-мерное
линейное пространство,
-базис в нём, и
–линейный оператор над
.
Пусть
.
Тогда
т.е., зная образы базисных векторов, мы
можем восстановить образ любого вектора
из
.
Найдём образы базисных векторов:
Матрица
называется
матрицей линейного оператора
в базисе
и обозначается
.
Иногда индекс
е опускается,
если и так ясно, о каком базисе идёт
речь. Матрицей л.о. называется матрица,
столбцы которой состоят из координат(в
базисе
) образов (под действием
) базисных векторов.
Билет№27
Матрица перехода, преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Ln – ЛВП (линейно-векторное пространство)
Известны 2 базиса:
Получим
разложением векторов {e’}
в базисе {e}
В столбцах матрицы перехода стоят координаты разложения нового базиса {e’} в старом базисе {e}
Пусть x принадлежит Ln
Формула преобразования координат при преобразовании базиса выглядит следующим образом:
Билет№28
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, собственные значения линейного оператора, относящиеся к различным собственным значениям
Ln-ЛВП
Число λ принадлежащее R называется собственным числом(значением) линейного оператора φ, если найдется такой вектор x принадлежащий Ln, что выполняется:
λ - собственное число
х – собственный вектор, соответствующий собственному числу λ.
Введем базис
Тогда матрица линейного оператора φ
Собственные свойства собственных векторов линейного оператора:
1)Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям линейного оператора, линейно независимы
2)В базисе из собственных векторов матрица линейного оператора имеет диагональный вид, причем на диагонали стоят собственные числа.
Действительно,
пусть линейный оператор φ имеет n
линейно независимых собственных векторов
,отвечающие
собственным числам λ1,… λn.
Выбираем собственные
векторы
в
качестве базиса. Чтобы получить матрицу
нужно
найти образы базисных векторов:
Оператор, матрица которого приводится к диагональному виду, называется оператором простой структуры.
Оператор имеет простую структуру в 2-х случаях:
Замечание!!!
Оказывается, все собственные числа оператора, имеющего в ортонормированном базисе симметричную матрицу, действительные числа.
Билет№30
Понятие Евклидова пространства, существование ортонормированного базиса.
Вещественное линейное пространство наз. Евклидовым, если в нем каждой паре векторов(элемент линейного пространства) x,y поставлено в соответствие число (х,у), называемое скалярным произведением векторов х и у, для которого выполняются следующие условия:
Таким образом, можно говорить об аксиомах евклидового пространства: они включают в себя 8 аксиом линейного пространства и 4 свойства скалярного произведения.
Нормой в линейном
пространстве L
называется функция, ставящая в соответствии
каждому вектору
вещественное
число ||x||,
для которого выполняются след. Условия:
В
евклидовом пространстве Е ному можно
задать следующим образом:
Ортогональный базис евклидова пространства, вектора которого нормированы, т.е. имеют единичную норму, называется ортонормированным.
Билет№31
Квадратичные формы, преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.
Квадратичной формой
n
переменных
называется однородный многочлен второй
степени относительно этих переменных:
*
,
или в матричном виде
,
где
На самом деле
квадратичную форму следует рассматривать
как функцию, сопоставляющую каждому
элементу Х
евклидова
пространства
некоторое вещественное число
.
Тогда Ф
в * есть ни что иное как функция от
координат вектора Х.
Заметим, что матрица
А, называемая матрицей квадратичной
формы Ф, всегда симметрична, поскольку
мы всегда можем потребовать, чтобы
,
так как это коэффициенты при равных
произведениях
и
Но поскольку в
записи (*) используются координаты
вектора, то эта запись зависит от
выбранного базиса, и, следовательно, от
базиса зависит также и матрица квадратичной
формы. Пусть {e}
и {e’}-два
базиса En,
А-матрица квадратичной формы Ф
в базисе {e},
а А’-в базисе {e’}.Тогда
(**)
Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования координат. Поскольку при невырожденном линейном преобразовании базис переходит в базис, то матрицы двух эквивалентных квадратичных форм будут связаны соотношением вида:(**)
Каноническим
видом
квадратичной формы называется
эквивалентная ей квадратичная форма,
содержащая только квадраты переменных:
Таким образом, матрица квадратичной формы в каноническом виде диагональная. Базис, в котором квадратичная форма принимает канонический вид, называется каноническим.
Билет№32
Теорема:
Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид, причем не ее диагонали стоят собственные числа оператора.
Билет№33
Матрица А называется ортогональной, если АТ *А=А*АТ =Е
Матрица А
ортогонального оператора в некотором
ортонормированном базисе называется
также ортогональной
и обладает
тем характеристическим свойством, что
ее обратная матрица совпадает с ее
транспонированной
Пример:
Пусть {e},{e’}
– ортонормированные базисы в евклидовом
пространстве Е,
Тогда по определению матрицы перехода
строки матрицы S(и
столбцы
)состоят
их координат векторов из {e}
в базисе {e’}.
Докажем, что S
– ортогональна, то есть
,
поскольку {e},{e’}
– ортонормированны, то
То есть
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Квадратичной формой n переменных называется однородный многочлен 2 степени
Пусть А-матрица
квадратичной формы в «старом»
ортонормированном базисе {e}.
Надо подобрать такую невыраженную
матрицу
чтобы
Рассмотрим в
пространстве En
линейный оператор φ такой, что
.
Поскольку матрица А симметрична, то
оператор φ является самосопряженным.
Следовательно, для этого оператора
существует ортонормированный базис из
собственных векторов матрицы линейного
оператора принимает диагональный вид,
причем по диагонали стоят собственные
значения оператора, то есть для
Таким образом, для приведения квадратичной формы к каноническому виду имеем следующий алгоритм:
1)Записать матрицу А данной квадратичной формы Ф
2)Найти собственные
числа соответствующего самосопряженного
оператора
,
т.е. решить характеристические уравнения
.
Пусть
-
собственные числа. Тогда канонический
вид квадратичная формы Ф
будет следующий:
.
3) Найти собственные
вектора оператора
.
Пусть это вектора
.
Если все корни характеристического
уравнения простые, то эти вектора
образуют ортогональный базис в силу
свойств самосопряженного оператора.
Если есть кратные корни, то для собственных
векторов, соответствующих одному
собственному значению потребуется
провести процесс ортогонализации.
4) Из полученного
ортогонального базиса сделать
ортонормированный:
.
Это и будет искомый