- •Основные определения и понятия.
- •Элементарные функции комплексных переменных.
- •§2. Дифференцирование и интегрирование функций комплексных переменных.
- •1. Производная функции комплексных переменных.
- •2. Условия Коши-Римана.
- •§3. Аналитические функции.
- •Интеграл по контуру от функции комплексных переменных.
- •Интегральная теорема Коши.
- •Интеграл с переменным верхним пределом и неопределенным интегралом.
- •Интегральная формула Коши.
- •Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Интегральные формулы для производных.
- •§4. Ряды в комплексной области.
- •§5. Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл Фурье.
- •Объединим 3 формулы: (2). Коэффициент - амплитуда.
- •Тригонометрическая и вещественная формы интеграла Фурье.
- •Тригонометрическая форма преобразования Фурье. Sin – и Cos – преобразования Фурье.
2. Условия Коши-Римана.
Теорема (необходимые условия дифференцирования). Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда функции имеют частные производные в точке удовлетворяют следующим условиям:
.
Условия (*) называются условиями Коши-Римана.
Доказательство.
Пусть . Какую бы не выбрали траекторию отношение будет стремится к одному и тому же числу.
Выберем 2 траектории.
(действительная ось)
(мнимая ось)
.
.
Сравнивая вещественные и мнимые части первого и второго уравнения получаем условие Коши-Римана.
Пример.
1-ое условие не выполняется не дифференцированная.
Замечание (достаточное условие дифференцирования).
Можно доказать, что если функции имеют непрерывные частные производные в точке удовлетворяющие условиям Коши-Римана. . Дифференцированы в точке . Это условие и является достаточным.
§3. Аналитические функции.
Функция комплексной переменной называется аналитической в точке , если она дифференцирована в и в некоторой ее окрестности. Функция аналитическая в каждой точке области D, называется аналитической в D (или аналитическая на D).
Если функция аналитическая в , то эта точка называется правильной точкой функции. Если же функция не аналитическая в , но аналитическая в выколотой окрестности, то такая точка называется особой точкой данной функции.
Пример.
, точка особая точка, остальные правильные.
Пусть - аналитическая в области D, причем дважды непрерывно дифференцируемы в области D. Запишем условия Коши-Римана. . Продифференцируем первое по x, второе по y:
.
Такое уравнение называется уравнением Лапласа. Функции, которые удовлетворяют уравнения Лапласа называются гармоническими. Аналогично, если продифференцировать первое по y, второе по x, то получим. Что и функция - также является гармонической.
Гармонические функции , удовлетворяющие условиям Коши-Римана называются сопряженными.
Можно доказать следующее утверждение. Всякая гармоническая функция является вещественной, мнимой частью некоторой аналитической функции.
Интеграл по контуру от функции комплексных переменных.
Пусть в некоторой области определена , непрерывна и однозначна. Пусть в области задана кусочно-гладкая, ориентированная прямая l. Разобьем ее на n частей.
Ч ерез - длину каждого участка кривой. На каждом участке кривой выберем точку . Составим интегральную сумму , если существует конечный предел , где , который не зависит от способа разбиения кривой на части и выбора точки , то он называется интегралом от по l: .
Если функцию представить в виде: и ,
то .
Если кривая l задана параметрически и .
.
Пример.
; Г:
Основные свойство контурных интегралов.
Линейность
.
.
Аддитивность
Если , причем =1 точка, то .
Оценка величины модуля интеграла
Пусть , L- длина прямой l, тогда .