11. Вывод закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений

1. Запишем Уравнение Эйлера:

 — потенциал. Для силы тяжести φ = gz

2. Запишем выражение для энтальпии и предположим, что энтропия системы постоянна (или, можно сказать, что течение адиабатично):

dW = VdP + TdS

Пусть S = const и w — энтальпия единицы массы, тогда:

или

3. Воспользуемся следующими соотношениями из векторной алгебры:

 — проекция градиента на некоторое направление равно производной по этому направлению.

4. Уравнение Эйлера с использованием соотношений выведенных выше:

Спроецируем это уравнение на единичный вектор касательный к линии тока, учитывая следующее:

 — условие стационарности

 — так как 

Получаем:

То есть на линиях тока в стационарной адиабатической жидкости выполняется следующее соотношение:

12. Элементарная струйка при установившемся движении вязкой жидкости

Уравнение для этого случая имеет вид (приводим его без вывода, поскольку его вывод сопряжен с применением некоторых операций, приведение которых усложнило бы текст)

НАПОР ПОЛНЫЙ В ПОТОКЕ — энергия массы жидкости, протекающей в единицу времени через избранное живое сечение потока, отнесенное к единице веса, определяемая относительно условной горизонтальной плоскости.

Пьезометрический напор (piezometric head) - напор Н, создаваемый столбом жидкости, поступившей в скважину из пласта, равный сумме пьезометрической h и геометрической z высот над условно принятой (нулевой) плоскостью: Н = h + z

Скоростной напор-величина, равная половине произведения плотности (в) жидкости или газа на квадрат скорости V потока:  q = 1/2(()V2.

13. Поток с установившимся плавно изменяющемся движением. Коэффициент удельной кинематической энергии Х

Для того, чтобы получить уравнение Бернулли в этом случае, приходится исходить из уравнения (1), то есть из струйки надо переходить в поток. Но для этого нужно определиться, что представляет собой энергия потока (которая состоит из суммы потенциальной и кинематической энергий) при плавно изменяющемся потоке

Разберемся с потенциальной энергией: при плавном изменении движения, если поток установившийся

Окончательно при рассматриваемом движении давление по живому сечению распределено согласно гидростатическому закону, т. е.

где величину Х называют коэффициентом кинетической энергии, или коэффициентом Кориолиса.

Коэффициент Х всегда больше 1. Из (4) следует:

14. Опыты Рейнольдса. Число Рейнольдса. Режимы течения жидкости. Критическое число Рейнольдса для круглых труб.

Рейнольде провел свои опыты, наглядно подтверждавшие гипотезу Менделеева о существовании ламинарного и турбулентного движения жидкости.

Имеют место два различных по своему характеру режима движения жидкости: ламинарный и турбулентный.

При ламинарном режиме жидкость движется слоями без поперечного перемешивания, причем пульсации скорости и давления отсутствуют.

При турбулентном режиме слоистость нарушается, движение жидкости сопровождается перемешиванием и пульсациями скорости и давления.

Критерием для определения режима движения является безразмерное число Рейнольдса. Для труб круглого сечения число Рейнольдса определяется по формуле:

Re = υ·d/ν;

- для потоков произвольного поперечного сечения

ReRг = υ·Rг /ν;

или

ReRг = υ·Dг /ν;

где υ — средняя скорость жидкости; d — диаметр трубы; Rг — гидравлический радиус; Dг — гидравлический диаметр; ν — кинематический коэффициент вязкости жидкости.

Режим будет ламинарным, если

Re < Reкр;

ReR < ReRкр,

 

и турбулентным, если

Re > Reкр;

ReR > ReRкр,

В выражениях приведенных выше Reкр и ReRкр — критические числа Рейнольдса, для круглых труб обычно принимаемые равными соответственно 2320 и 580.

15. Тече́ние Пуазёйля — ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между параллельными плоскостями.

При ламинарном движении жидкости скорость на оси канала примерно в 2 разы выше средней. Тогда кинетическая энергия будет в 4 раза выше. Скоростной напор составит h = 22/(2*10) = 0.2 м

Расчеты показывают, что при одинаковых скоростях, но разных режимах течения кинетические энергии будут отличаться почти в 2 раза. Это потребовало введения поправочного коэффициента – коэффициента Кориолиса. При ламинарном режиме течения (без перемешивания) неравномерность поля скоростей велика и кинетическая энергию будет в 2 раза выше, чем рассчитанная по средней скорости. При турбулентном режиме (с интенсивным перемешиванием, которое выравнивает скорости во всех точках потока) кинетическая энергия практически равна полученной через среднюю скорость.

 

Ламинарный режим (профиль скорости)           Турбулентный режим (профиль скорости)

                                                                          

Уравнение Бернулли приобретает вид:

где a - коэффициент Кориолиса, принимает значения

a = 2 при ламинарном режиме и a = 1 при турбулентном режиме