Правило «3 сигм»:

Если случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами а и σ², то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а-3σ; а+3σ): .

29) Моменты случайной величины. Асимметрия. Эксцесс

Начальный теоретический момент порядка k:

Центральный теоретический момент порядка k:

МХ/ 1-ый начальный момент характеризует среднее значение распределения СВ,

ДХ/ 2-ой центральный момент – степень рассеяния распределения СВ относительно МХ.

3-ий центральный момент служит для характеристики асимметрии.

Коэффициент асимметрии =

А = 0 – распределение симметрично относительно МХ.

4-ый центральный момент характеризует крутость распределения.

Эксцесс – число, равное .

Кривые более островершинные, чем кривая для нормального распределения, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

30) Неравенство Маркова

31) Неравенство Чебышева

Для любой СВ X, имеющей конечную дисперсию и любого e > 0

.

32) Теорема Чебышева

3 3) Теорема Бернулли. Значение закона больших чисел

При доказательстве получаем:

.

ЗБЧ устанавливает устойчивость средних значений: при большом числе испытаний их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной точностью.

34) Понятие о ЦПТ

ЦПТ устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному.

Составляет основу мат.стат.

35) Предмет и метод математической статистики

МС – раздел математики, в котором изучаются закономерности массовых случайных явлений на основе обработки результатов наблюдений или экспериментов.

Методы: корреляционно-регрессионный анализ, дисперсионный анализ, факторный анализ и др.

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других случайных величин и т.д.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного распределения.

36) Генеральная и выборочная совокупности. Способы отбора

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматриваемой совокупности.

Виды выборки:

Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

37) Построение дискретного вариационного ряда. Эмпирическая функция распределения и ее свойства

По способу построения различают дискретные (прерывные) вариационные ряды, основанные на прерывной вариации признака, и интервальными(непрерывными), базирующиеся на непрерывно изменяющемся значении признака.

При построении дискретного вариационного ряда в первой графе (строке) указываются конкретные значения каждого индивидуального значения признака (т.е. каждой варианты), а во второй графе (строке) – частоты.

Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом,

,

где п_х – число вариант, меньших х, п – объем выборки.

Свойства F(x):

1. 0 ≤ F*(x) ≤ 1.

2. F*(x) – неубывающая функция.

3. Если х₁ – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х₁; если х_к – наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х > х_к .

38) Построение интервального вариационного ряда. Гистограмма частот и относительных частот

Интервалы можно брать как равные, так и неравные. Для каждого из них указываются частоты и частости, (т.е. абсолютное или относительное числа единиц совокупности, у которых значение варианты находится внутри данного интервала).

Первый и последний интервалы ряда во многих случаях берутся незакрытыми, т.е. для первого интервала указывается только верхняя граница (“до… ”) а, для последнего только нижняя (“от… и выше”, “свыше…”). Использование незакрытых интервалов удобно, когда в совокупности встречается незначительное количество единиц, с очень малыми или очень большими значениями признака, резко отличающимися от всех остальных значений.

Наглядное представление о поведении случайной величины, исследуемой по выборке, дает гистограмма – столбчатая диаграмма, состоящая из прямоугольников, основания которых – частичные интервалы длины h, а высоты – плотности абсолютных или относительных частот. При этом общая площадь гистограммы абсолютных частот равна объему выбор-ки, а гистограммы относительных частот – единице.

- величина интервала.

39) Выборочная средняя, выборочная дисперсия и их свойства

Оценкой математического ожидания служит выборочное среднее

то есть среднее арифметическое всех элементов выборки, а оценкой дисперсии – выборочная дисперсия

.

Св-ва выборочного среднего:

1 – если индивидуальное значение признака Х увеличить или уменьшить на некоторое постоянное число а, то среднее увеличится или уменьшится на это же число а.

2 – если индивидуальное значение признака Х увеличить или уменьшить в k раз, то среднее увеличится или уменьшится в k раз.

3 – если частоты разделить на некоторое постоянное число, то среднее не изменится.

4 – сумма отклонений индивидуальных значений среднего всегда = 0

Св-ва выборочной дисперсии:

1 - если все значения признака Х увеличить или уменьшить на 1 и то же постоянное число а, то дисперсия не изменится.

2 – если все значения признака увеличить или уменьшить в одно и то же число k раз, то дисперсия увеличится или уменьшится в k² раз.

3 – значение дисперсии, рассчитанная от выборочной средней, и есть минимальное значение дисперсии.

40) Точечное оценивание числовых характеристик случайной величины. Состоятельность, эффективность, несмещенность оценки. Исправленная выборочная дисперсия

Оценка называется точечной, если она выражается одним числом. К ней относятся выборочные средняя, дисперсия и доля.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при п→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру (если эта оценка несмещенная, то она будет состоятельной, если при п→∞ ее дисперсия стремится к 0).

Статистическая оценка называется эффективной, если она при заданном объеме выборки п имеет наименьшую возможную дисперсию.

Статистическая оценка Θ* называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки:

М(Θ*) = Θ.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Поэтому вводится несмещенная оценка генеральной дисперсии – исправленная выборочная дисперсия