Билет 10. Закон динамики вращения тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

,                                                             (1.6)

где – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 5) приложить силу , то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила ,…, . Для каждой материальной точки можно записать:

,

где ,

поэтому ,                                                            (1.7)

Рис. 5. Твердое тело, вращающееся под действием силы около оси “ОО”.

где m_i – масса i-й точки; – угловое ускорение; r_i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения (1.7) на r_i, получают

,                                                          (1.8)

где – момент силы – это произведение силы на ее плечо r_i.

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения “ОО” (рис. 5) до линии действия силы .

– момент инерции i-й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так:

.                                                              (1.9)

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела:

.

Обозначим через М, а через J, тогда

.                                                            (1.10)

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина – геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение . – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: “Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение”.

Мгновенное значение углового ускорения , есть первая производная угловой скорости по времени t , то есть

,                                                              (1.11)

где – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени dt.

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

или ,                                              (1.12)

где – импульс момента силы – это произведение момента силы М на промежуток времени dt .

– изменение момента импульса тела,

– момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость , а есть dL.

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса dL”:

или = dL.           

Момент инерции твердых тел

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси ОО (рис. 1) его инерциальные свойства определяются не только массой тела, но и распределением этой массы относительно оси вращения.

Твердое тело, состоящее из материальных точек, каждая массой m_i, участвуют во вращательном движении. Мерой инерции каждой материальной точки вращающегося твердого тела является момент инерции J_i. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния r_i от точки до оси вращения:

.                                                        (1.1)

Рис. 1. Вращение твердого тела массой m вокруг неподвижной оси ОО

Момент инерции твердого тела произвольной геометрической формы относительно неподвижной оси ОО равен алгебраической сумме моментов инерций всех его точек относительно этой оси:

,                                                (1.2)

где J_i – момент инерции i-й точки; m_i – масса i-й точки; r_i – расстояние i-й точки до оси вращения “ОО”.

Для тел правильной геометрической формы моменты инерций описываются точными выражениями. Например: для шара массой m и радиусом r, вращающегося относительно центральной оси, момент инерции J равен произведению 2/5 массы на квадрат радиуса шара (рис. 2):

.                                                           (1.3)

Центральной осью вращения ОО (рис. 2) называют ось, проходящую через центр массы тела С.

Рис.2. Шар массой m, вращающийся относительно центральной оси ОО. Точка С – центр массы шара

Для сплошного цилиндра массой m момент инерции относительно центральной оси равен произведению 1/2 массы цилиндра на квадрат радиуса основания цилиндра (рис. 3):

.                                                           (1.4)

Рис.3. Цилиндр массой m, вращающийся относительно центральной оси “ОО”. Точка С – центр массы цилиндра

Расчет момента инерции цилиндра относительно оси дается в Приложении.

При изменении положения оси вращения относительно центра масс изменяется и момент инерции тела. При параллельном переносе оси вращения справедлива теорема Штейнера. По теореме Штейнера определяют момент инерции твердого тела любой геометрической формы относительно нецентральной оси (рис. 4).

Рис. 4. Момент инерции цилиндра относительно центральной оси “11” – J₀ и относительно оси “22” – J; b – расстояние между осями

Теорема: “Если ось вращения, проходящую через центр массы тела, переместить параллельно самой себе на расстояние b, то момент инерции относительно этой оси будет равен алгебраической сумме момента инерции тела J_o, относительно центральной оси вращения, и произведению массы тела m на квадрат расстояния b между осями”, то есть

.                                                         (1.5)