36.Свойства сходящихся последовательностей.Монотонные посл-ти.

Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве. Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.

Если последовательность (x_n) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / x_n), которая является ограниченной.Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

Любую сходящуюся последовательность (x_n) можно представить в виде (x_n) = (a + α_n), где a — предел последовательности (x_n), а α_n — некоторая бесконечно малая последовательность.Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

37. Предел функции. Свойства пределов.

Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел L в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к L.

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

38. Предел функции при X  ∞

Предел функции ф(х) , х€ [а, +∞) при х  +∞ определяется аналогично понятию предела функции в конечной точке, естественно с использованием понятия бесконечно большой последовательности для значений аргумента функции. Для обозначения предела функции ф(х) при х  +∞ используется запись lim f(x) при х  +∞.

39. Бесконечные пределы функции.

40. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

Важную роль в математическом анализе играет понятие бесконечно малых (б.м.) функций.

О: Функция у = а(х) называется б.м. при х а, если

^{Функция называется б.б. при}

^{если для любого числа М > 0 существует такое число зависящее только от М, что из неравенства . Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.}

^{41. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции..}

Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если  .Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет. Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к.  .  Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где , тогда f(x)  g(x) = (A + B) + (x) + (x)A + B = const,  (х) + (х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.