Формулировка и док-во свойств векторного произведения.
1)
=-
свойство антикоммутативности
2)
=
дистрибутивность по сложению (доказываются
как скалярное)
3)
=
-ассоциативность
4)
=0
//
Определение определителей 1-го, 2-го, 3-го порядка (детерминантов 1-го, 2-го, 3-го порядка). Свойства определителей (Операция со строками).
a-матрица 1-го порядка det=a
– 2-го det=
- 3 его
det=
+
+
Свойства:
1)При перестановке любых 2 строк определитель меняет знак
2)При добавлении (вычитании) одной строке к др определитель не меняется
3)При умножении одной строки на число k, определитель умножается на k
4)Определитель единичной матрицы равен 1
5)То же самое для столбцов 1 2 3 4
Определение проекции точки на прямую. Определение скалярной проекции вектора на прямую. Определение векторной проекции вектора на ось. Док-во теорем о вычислении проекций вектора. Проекцией точки А на прямую l называется основание перпендикуляра, опущенного из А на прямую .
Скалярной проекцией вектора A͞B
на ось l называется длина
отрезка А’B’,где А’-
проекция А на прямую, B’-проекция
В на прямую. (со знаком «+»,если A’͞B’↑↑l,со
знаком “-“,если A’͞B’).
Векторной проекцией
вектора А͞В на ось l
называется вектор А’͞B’.
Th о скалярной проекции.
Скалярная проекция а͞ на ось прямую
равна скалярному произведению
,где
s͞ - единичный направляющий
вектор оси l. Док-во: Отложим
а͞ от т.Аϵ прямой.
1)если угол м/у а͞ и осью l
≤ 90ᵒ,то АВ=|a͞ |*cosα.
Пусть s͞- единичный
направляющий вектор оси прямой. 
.Т.о.
проекция равна
.
2) если угол между
а͞ и осью прямой ≥ 90ᵒ,то 
.Т.к.
АВ↑↓S͞ , то проекция
вектора а͞ на прямую имеет знак “-“,т.к.
равна 
.
Определение смешанного произведения векторов. Запись в координатах(док-во).
Смешанным
произведением векторов а͞ ,в͞ и с͞
называется число (а͞ ,[b͞
,c͞ ]). Th. a͞
=(a1,a2,a3), b͞
=(b1,b2,b3), c͞
=(c1,c2,c3) 
Док-во:[b͞
, c͞ ]= 
=(Δ1,-Δ2,Δ3) ; (a͞, [b͞ , c͞ ])=
; 
.
Док-во свойств смешанного произведения. Смысл знака.
1.При преставлении 2-х векторов смешанного произведения меняется знак. < a,b,c>=1; <b,a,c>=-1; <c,b,a>=-1; <a,c,b>=-1; <b,c,a>=1; <c,a,b>=1. 2.<a͞1 +a͞2 ,b͞, c͞ >=<a͞1 ,b͞, c͞ >+<a͞2,b͞, c͞ >. 3.<α*a͞ ,b͞ ,c͞ >=α<a͞ ,b͞ ,c͞ >; <a͞ , b͞1+b͞2,c͞ >=-<b͞1+b͞2, a͞ ,c͞ >. 4.<a͞ ,b͞ ,c͞ >=0, a͞ ,b͞ ,c͞ - компланарны. <a͞ ,b͞ ,c͞ >=(а͞ ,[b͞ ,c͞ ]); <a͞ ,b͞ ,c͞ >=0 → (а͞ ,[b͞ ,c͞ ])=0 ↔ а͞ ḻ[b͞ ,c͞ ] [b͞ ,c͞ ]ḻb͞ [b͞ ,c͞ ]ḻc͞ → лежат в плоскости.