- •1.Первое уравнение эмп (закон полного тока) устанавливает связь между электрическим током и напряженностью магнитного поля.
- •Градиент дивергенция ротор
- •Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
- •Уравнения Пуассона и Лапласа
- •Единственность решения задач Дирихле или Неймана
- •Поле электрического диполя
- •Поле двух равномерно заряженных осей
- •Поле двухпроводной линии
- •Поле параллельных несоосных цилиндров
- •Метод изображений
- •Емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли
- •Емкость трехфазной линии
- •Метод разделения переменных Проводящий шар в однородном поле
- •Проводящий цилиндр в однородном поле
- •Метод средних потенциалов для расчета емкостей проводов
- •Аналогия электрического поля в проводящей среде с электростатическим полем
- •Скалярный потенциал магнитного поля в области вне токов
- •Поле провода круглого сечения
- •Индуктивность трехфазной линии
- •Плоская волна в однородном диэлектрике
- •Плоская электромагнитная волна в проводящей среде
- •Явление поверхностного эффекта
Поле провода круглого сечения
Поле вне провода r ≥ r0 определяется по закону полного тока: Н=Hα= I/2πr или В=Вα= μμ0 I/2πr. Учитывая, что B = rot A и Вα=- ∂Az/∂r, можно получить распределение векторного потенциала, а он параллелен току и оси OZ.
Ae=- (μμ0 I/2π)ln r+Ce
При этом (A(r0) - A(r))l – поток вектора магнитной индукции сквозь полосу (r – r0)l вне провода Ф=(μμ0 Il/2π)ln( r/ r0). Но Ф→∞ при r→∞.
Напряженность внутреннего магнитного поля r ≤ r0
H=1/(2πr)(Iπr2/(πr02))=Ir/(2πr02),
а векторный потенциал
Аi=-μμ0 Ir2/(4πr02)+Сi.
Постоянная интегрирования может считаться равной нулю Сi=0, а Ce определяется из условия равенства Ae= Аi на поверхности провода r= r0.
Энергия магнитного поля внутри провода на единицу длины
, отсюда внутренняя индуктивность Lвн= μμ0/8π.
Выражения для взаимной и собственной индуктивностей
тонких проводов
Рассматриваются расчеты индуктивностей контуров, поперечные размеры сечений которых малы по сравнению с длиной контуров и с расстоянием между ними. Векторный потенциал в центре элемента dl2 проводника второго контура можно вычислить по формуле
Потокосцепление Ψ21 при этом может быть принято равным потоку Ф21 сквозь поверхность, ограниченную осью проводника второго контура
.
Разделив Ψ21 на i1, можно получить
.
Эта формула может использоваться для вычисления внешней индуктивности контура из тонкого провода, если предположить, что ток течет по оси провода и l1 – ось проводника. Контур l2 – внутренняя поверхность проводника (по отношению к Ψвнеш, линии магнитной индукции которого охватывают весь проводник).
Для провода конечного размера l и радиуса r
Lвнеш=μμ0l/2π(ln(2l/r)-1); Lвн= μμ0l/8π.
Для двухпроводной линии с расстоянием между осями D и радиуса r
М12=μμ0l/2π(ln(2l/D)-1); L=μμ0l/2π(ln(D/r)+1/4).
Индуктивность трехфазной линии
В каждом проводе трехфазной линии передачи индуктируется не только ЭДС самоиндукции, обусловленная переменным током в этом проводе, но также и ЭДС взаимной индукции, обусловленная токами в других проводах. Взаимные индуктивности М12, М23 и М31 между проводами при их несимметричном расположении отличаются друг от друга и падения напряжения в проводах при синусоидальных токах описываются выражениями:
U1=(r+jωL)I1+jωM12I2+ jωM13I3;
U2=(r+jωL)I2+jωM23I3+ jωM21I1;
U3=(r+jωL)I3+jωM31I1+ jωM32I2.
Если токи в линии образуют симметричную систему, т.е. I2=a2I1; I3=aI1, то
U1=[r+jω(L+a2M12+aM13)]I1;
U2=[r+jω(L+a2M23+aM21)]I2;
U3=[r+jω(L+a2M31+aM32]I3.
Выражения в круглых скобках вещественны только в случае симметричного расположения проводов М12=М23=М31=М,(а2+а=-1).
Тогда
U1=[r+jω(L-М)]I1;
U2=[r+jω(L-М)]I2;
U3=[r+jω(L-М)]I3.
Разность (L-M)=L′ можно рассматривать как эквивалентную индуктивность одного провода. Индуктивность L уединенного провода длиной l и с радиусом r сечения выражается формулой
L= Lвнеш+ Lвн =μμ0l/2π(ln(2l/r)-1)+ μμ0l/8π.
Взаимная индуктивность М между проводами длиной l и с расстоянием между осями D
М=μμ0l/2π(ln(2l/D)-1).
Таким образом,
L′=L-M= μμ0l/2π(ln(D/r)+1/4).
При несимметричном расположении проводов расстояния между проводами не равны друг другу: D12 ≠ D23 ≠ D31.
Однако, если через равные интервалы вдоль линии осуществлена транспозиция проводов, то выражение для L′ сохраняет свой вид, если под М понимать среднее значение взаимной индуктивности для трех участков линии:
М=1∕3(М12+М23+М31)= μμ0l/2π(ln(2l/D′)-1),
где D′=(D12 D23 D31)1∕3.
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Теорема Умова – Пойнтинга
Уравнение баланса мощности для единичного объема можно получить, если обратиться к первому и второму уравнениям Максвелла, предварительно заменив в них D и Н соответственно εε0Е и μμ0Н:
rot H=J + εε0∂Е∕∂t;
rot Е = – μμ0∂Н∕∂t.
Умножив скалярно первое уравнение на Е, второе – на Н и взяв их разность, можно получить
Е rot H – Н rot Е= JЕ+ εε0(∂Е∕∂t)Е+ μμ0(∂Н∕∂t)Н. (а)
Левую часть этого уравнения можно представить в виде
Е rot H – Н rot Е= – div[EH].
Первое слагаемое правой части уравнения (а) легко преобразовать, воспользовавшись законом Ома (J=γ (Е+Eстор))
JЕ= J(J∕ γ – Eстор)= J2∕ γ – J Eстор.
Второе и третье слагаемые правой части уравнения (а) можно представить в виде
εε0 Е ∂Е∕∂t + μμ0 Н ∂Н∕∂t= ∂∕∂t(1∕2 εε0Е2+1∕2 μμ0Н2).
После преобразования уравнения (а)
– div[EH]= J2∕ γ – J Eстор+∂∕∂t(1∕2 εε0Е2+1∕2 μμ0Н2). (в)
Это и есть уравнение, выражающее баланс мощности в единичном объеме. Действительно, первое слагаемое правой части представляет собой удельную (отнесенную к единице объема) мощность тепловых потерь (она положительна). Второе слагаемое – удельная мощность сторонних сил. Наконец, последнее слагаемое выражает необходимую мощность для увеличения плотности энергии электромагнитного поля. И если правая часть уравнения (в) положительна, то удельная мощность – мощность потребления и она обеспечивается отрицательным удельным потоком вектора [EH] через замкнутую поверхность, ограничивающую (единичный) объем. Вектор П=[EH] (Вт∕м2) называют вектором Пойнтинга. Он определяет мощность потока электромагнитной энергии, отнесенной к единице поверхности, нормальной направлению распространения волны. Уравнение (в) выражает теорему Умова – Пойнтинга. Вектора Е,Н и v взаимно перпендикулярны.