25.Непрерывные случайные величины и основные законы их распределения.

Опр:Случ велич-а X назыв-ся непрер-ой, если ее пространством элементарн событий явл-ся вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю

Опр:непрерывн случ.величина подчиняется равномерному закону распреде-я если ее возможные знач-я лежат в некотором определ-ом интервале,в пределах кот-го все значения равновероятны(облад.одной и той же плотностью вероятности).Т.о. непрерывн.случ.величина распределена по равномерному закону на отрезке [a;b] если на этом отрезке ее плотность распределения вероятности постоянна,а вне =0.

; ;

~Свойства равномерного распределения:

Нормальный закон распределения проявл-ся в тех случаях,когда случ.велич.Х образуется в рез-те действия большого числа взаимно независимых факторов,при чем кажд.фактор незначительно влияет на величину Х и ни один из факторов не доминирует над другим по степени влияния на Х.

Непрерыв.случ.велич.Х принимающ значения на всей оси Х подчиняется норм.зак распределения если ее плотность вероятности имеет вид: (7.1) где σ,m-некоторые константы. Если известно их значение,то плотность вер-ти тем самым определена.Ф-ция распределения норм случ величины имеет вид: (7.2)

Полагая в фор-ах (7.1) и (7.2) m=0 и σ=1 приходим к нормиров.плотности и ф-ции распределения: ,

~Свойства нормального распределения:

1)Плотность распределения p(x)→0 при x→+ - ∞

2)Кривая p(x) симметрична относительно прямой x=m

3)Плотность норм распр-я имеет максимум в точке x=m

4)Плотность распр-я p(x) имеет точки перегиба с координатами х1=m-σ;x2=m+σ.

5)Парам-ры норм распр-я есть матожидание и дисперсия случ величины x. m=M(x); σ²=D(x);

6)Матожидание равно моде и медиане M(x)=Mo=Me

7)Плотность норм распр-я р(х) может быть выражена через нормированную плотность распределения φ(х) след.образом где . Ф-ция распред-я F(x) выражается через нормир. ф-цию распред-я Ф(х) как F(x)=Ф(у), где

8)Ф(-у)=1-Ф(у)

9)Вер-ть попадания нормально распределенной случ величины в интервал (а;b) равна

10)Вер-ть попадания норм.распред.случ.величины на участок,симметричный относительно центра распределения (т.е.матожидания М) равна

!!!Норма распред-е харак-ет следующую тенденцию в поведении случ.величины.В эксперименте с высокой вер-тью реализуются значения,близкие к m,причем чем меньше значение σ,тем меньше отклоняются наблюд-мые в экспер-те значения x от m.Этому качественному утвержд-ю можно придать колич-ую форму.

~Правило 3σ:в подавляющ большинстве случаев значения,принимаемые случ величиной,имеющей норм распред-е с параметрами m и σ отличаются от m не более чем на 3σ а именно p(|x-m|<3σ)=0,9973

Экспоненциальное распределение

Опр:НСВ х распределена по эксп закону,если ее плотность вероятности имеет вид

,где λ-параметр распределения; ф.распр-я

~Свойства:

­

26.Числовые характеристики случайных величин и их свойства

Закон распред-я полностью хар-ет случ величину.При решении практич.задач достаточно знать некотор.числ параметры,харак-щие отдельные черты закона распред-я случвеличины.Важнейшие:матожидание,мода,медиана,дисперсия, среднеквадратич.отклон-е.

Матожидание дискр.случ.вел.Х имеющ.закон распред. pi=P{X=xi},i=1,2,3…n назыв-ся число,равное сумме произведений всех ее значений на соотв.им веро-ти.

Обозначается МХ, , или но ряд должен сходиться.

Вероятностный смысл МО состоит в том,что оно явл-ся средним знач-ем с.в.

Матожиданием непрерыв случ велич Х с плотностью вер-ти f(x) наз-ся число

интеграл предполагается абсолютно сходящимся(модульx<∞)

~Свойства:

1)МО константы равно константе Mc=c

2)Константа выносится за знак МО, M(cX)=cMX

3)МО суммы СВ равно сумме их МО, М(X+Y)=MX+MY

4)МО отклонения св от ее МО равно нулю, М(X-MX)=0

5)МО произведения независ СВ арвно произведению их МО, М(XY)=MX*MY

Модой дсвХ наз-ся ее значение,принимаемое с наибольш вероятностью по сравн с двумя соседними знач-ями,обознач-ся MoX.Для нсв MoX-точка максимума плотности fx(x).Если мода единственная,то распред-е наз-ся унимодальным,если нет-полимодальным.

Медианой MeX нсв Х наз-ся такое ее знач-е x_p,для кот.Р{X<x_p}=P{X>x_p}=0.5 т.е. одинаково вероятно,окаж-ся ли св Х меньше или больше x_p. Для дсв медиана обычно не определ-ся.

Матожидание и дисперсия-частные случаи след.более общих понятий-моментов св. Начальным моментом порядка k св Х наз-ся матожидание k-ой степени этой величины,обозначается α_k. α_k=M(X^k)

Средним квадратич.отклонением св Х наз-ся квадратный корень из ее дисперсии, обозначают через σХ. .

~Свойства: σс=0, σсх=|c|σx, σ(c+X)= σx.

Для изуч.свойств случ.явления,независ.от выбора масштаба измерения и положения центра группирования,исх случ величину Х приводят к стандартному виду.Случ.велич. наз-ют стандартной случ.величиной,ее МО=0 а дисперсия=1.Тоесть Z-центрировання(MZ=0)и нормированная(DZ=1) случ.велич.

Дисперсией с.в.Х наз-ся матожидание квадрата ее отклонения от своего матожидания.Обознач-ся DX.По опред-ю DX=M(X-MX)².Харак-ет разброс значений с.в.Х относит ее матожидания. Формулы для вычисления:

для дискретной случ.величины Х

для непрерывной случ.величины Х

На практике удобна формула DX=MX²-(MX)²

~Свойства:

1)Дисперсия константы равна нулю Dc=0

2)Пост.множитель можно выносить за знак дисперсии,возведя его в квадрат

DcX=c²DX

3)Дисперсия суммы независимых случ.величин равна сумме их дисперсий

D(X+Y)=DX+DY

4)Дисперсия случ.величины не изменится,если к случвеличине прибавить конст.

D(X+c)=DX

5)Если случ величины X Y независимы,то D(XY)=MX²*MY²-(MX)²*(MY)²

27.Случайные векторы

Нередко рез-т того или иного испытания выраж-ся не одной,а нескольк.случ.велич. Совокупн случ.величин (ξ1, ξ2…ξn) наз-ся n-мерной случ.величино или n-мерным случайным вектором.

Ф-цией распред-я двумерн.случ.вектора (ξ;η) наз-ся ф-ция двух переменных,кот. ставит в соответствие вер-ть того, что F_ξη(x;y)=p(ξ<x;η<y)

Плотность вер-ти опред-ся как вторая смешанная произ-я

если она сущ.

Дискретные случ.вектора (ξ;η) можно задавать матрицей распределения

… … … … … … …

xk pk1 pk2 pk3 pkj … pkl

Здесь x1..xk всевозм.знач-я случ.велич.ξ, у1..уl-всевозм.знач-я случ.велич.η.

Рij=P(ξ=xi;η=yi).2 случ.велич. ξη назыв-ся независимыми если F_ξη(x,y)=F_ξ(x)F_η(y).

Непрер.случ.велич. ξη независимы тогда и только тогда,когда Р_ξη(x,y)=Р_ξ(x)Р_η(y).

Дискретн.случ.велич. ξη независ тогда и только тогда,когда для всех i=1..k,j=1..l выполняются Р(ξ=xi;η=yi)=Р(ξ=xi)Р(η=yi) или в сокр.ф-ме Pij=Pi*Pj.

Матожидание случ.век-ра опред-ся как вектор,компоненты кот-го равны матожиданиям компонент исходного вектора.

М(ξ;η)=(Мξ;Мη)

Дисперсия D(ξ;η)=(Dξ;Dη)

Коэф корреляции случ.величин ξη назыв-ся число

Полезна формула

Если ξиη независимы,то они некоррелированы r(ξ;η)=0;обратное утвер.неверно.

Коэф.корреляции облад.свойством |r(ξ;η)|≤1,равенство только если ξиη связаны лин.завис-ю.Коэф.корреляции хар-ет,насколько завис-ть между ξиη близка к лин. Если зав-ть близка к линейной,то можно попыт-ся записать в явном виде ур-е y=kx+b,наилучш.образом приближ.эту зависимость.Это ур-е линейной регрессии. Его вид