7. Теорема Штейнера. Вычисление моментов инерции для простейших ситуаций. Дифференциальный метод.

Теорема Штейнера - момент инерции тела - J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_C относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где

J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

m — масса тела,

d — расстояние между указанными осями.

Доказательство :

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор   можно расписать как разность двух векторов:

,

где   — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму  , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,

где J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса

7. Постулаты теории относительности. Преобразования Лоренца и их следствия. Принцип соответствия. Парадоксы теории относительности.

1 постулат: Принцип относительности Эйнштейна.

Уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой. (Инвариантность – неизменность вида уравнений при замене в нем координат и времени одной системы отсчета координатами и временем другой системы)

2 постулат: Принцип постоянства скорости света

Принцип постоянства скорости света утверждает, что скорость света в вакууме не зависит от движения источников света и, следовательно, одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Постоянство скорости света приводит к тому, что понятие одновременности, считающееся в ньютоновской механике абсолютным, в действительности является относительным.

Преобразования Лоренца:

, , , - переход от системы к системе

, , , – переход от системы к системе

Следствия:

1. Лоренцево сокращение – у движущихся тел размеры их в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения.

следовательно

Отсюда видно, что в движении системы отсчета происходит сокращение, поперечные размеры тела не изменяются.

2. Движущиеся часы идут медленнее чем покоящиеся

Время отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом называется собственным временем этого тела и обозначается буквой