Билет 5. Алгебра логики.

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается (т. н. бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики), что высказывания могут быть только истинными или ложными.

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания.

Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Высказывания строятся над множеством {B,  ,  ,  , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:

 отрицание или инверсия(операция, выражаемая словом «не»),( Инверсия истинна тогда, когда само высказывание ложно, и ложно, когда высказывание истинно.)

 конъюнкция или логическое умножение (операция, выражаемая связкой «и»),( двух и более высказываний истинно тогда и только тогда, когда все простые высказывания, входящие в неё истинны.)

 дизъюнкция или логическое сложение(операция, выражаемая связкой «или»)( двух или более высказываний ложно тогда и только тогда, когда все простые высказывания, входящие в неё ложны.)

а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

Дизъю́нкт — пропозициональная формула, являющаяся дизъюнкцией одного или более литералов (например  ). Конъюнкт — пропозициональная формула, являющаяся конъюнкцией одного или более литералов (например  ).

Литерал  — запись в исходном коде компьютерной программы, представляющая собой фиксированное значение.

Аксиомы

;

Логические операции

Простейшим и наиболее широко применяемым примером такой алгебраической системы является множество B, состоящее всего из двух элементов:

B = { Ложь, Истина }

Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать, что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.

Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказываний изучает высказывания и предикаты. Также вводятся дополнительные операции, такие как эквивалентность  («тогда и только тогда, когда»), импликация   («следовательно»), сложение по модулю два  , штрих Шеффера  , стрелка Пирса  и другие.

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция   приобретает смысл вычитания из единицы;   — немодульного сложения; & — умножения;   — равенства;   — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR);   — непревосходства суммы над 1 (то есть A   B = (A + B) <= 1).

Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено») и др.