Вопрос №33 Свойства функций, непрерывных в точке

Поскольку точки непрерывности функции задаются условием , то часть свойств функций, непрерывных в точке , следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.

        Теорема 3.1   Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , непрерывны в точке . Если , то функция также непрерывна в точке .

Предложение 3.3   Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности точки и непрерывных в этой точке. Тогда это множество является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:

        Доказательство.     Действительно, постоянные и  -- это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точке пpоизведения и . Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точке и сумма .     

        Теорема 3.2   Пусть функции f и ,g таковы, что существует композиция , . Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке . Тогда композиция непрерывна в точке .

        Доказательство.     Заметим, что равенство означает, что при будет . Значит,

(последнее равенство следует из непрерывности функции в точке ). Значит,

а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке .     

Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу на односторонние базы или и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:

        Теорема 3.3   Пусть функции и непрерывны слева (справа) в точке . Тогда функции , , непрерывны слева (соотв. справа) в точке . Если , то функция также непрерывна слева (спpава) в точке .    

        Теорема 3.4   Пусть функция непрерывна слева (справа) в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция непрерывна слева (соотв. справа) в точке .    

Вопрос №34. Сформулировать свойства функций, непрерывных на отрезке. Их геометрическая иллюстрация.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x1 Î [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x1) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x2, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x1) ≤ f(x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x2 и x2'.

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.